(1) 1から7までの7個の数字を1列に並べるとき、奇数どうしが隣り合わない並べ方は何通りか。また、偶数どうしが隣り合わない並べ方は何通りか。 (2) 白石8個、黒石5個を1列に並べる。 (ア) 黒石どうしが隣り合わないように並べる並べ方は何通りか。 (イ) 黒石が4個または5個続かないようにする並べ方は何通りか。

1. 問題の内容

(1) 1から7までの7個の数字を1列に並べるとき、奇数どうしが隣り合わない並べ方は何通りか。また、偶数どうしが隣り合わない並べ方は何通りか。

(2) 白石8個、黒石5個を1列に並べる。

(ア) 黒石どうしが隣り合わないように並べる並べ方は何通りか。

(イ) 黒石が4個または5個続かないようにする並べ方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1)

1から7までの数字のうち、奇数は1, 3, 5, 7の4個、偶数は2, 4, 6の3個である。

* 奇数どうしが隣り合わない並べ方：

まず、偶数3個を並べる。並べ方は $3! = 6$ 通り。

次に、偶数の間と両端の4箇所に奇数4個を並べる。並べ方は $4! = 24$ 通り。

よって、奇数どうしが隣り合わない並べ方は $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ 通り。

* 偶数どうしが隣り合わない並べ方：

まず、奇数4個を並べる。並べ方は $4! = 24$ 通り。

次に、奇数の間と両端の5箇所から3箇所を選び、そこに偶数3個を並べる。並べ方は ${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、偶数どうしが隣り合わない並べ方は $4! \times {}_5 P_3 = 24 \times 60 = 1440$ 通り。

(2)

(ア) 黒石どうしが隣り合わないように並べる並べ方：

まず、白石8個を並べる。

次に、白石の間と両端の9箇所から5箇所を選び、そこに黒石5個を並べる。並べ方は ${}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

(イ) 黒石が4個または5個続かないようにする並べ方：

まず、黒石5個のうち、5個すべて続く並べ方、4個続く並べ方を数える。

全並べ方は $\frac{13!}{8!5!} = 1287$ 通り。

* 黒石が5個続く場合：

黒石5個を一つのまとまりと考え、白石8個と合わせて9個を並べるので、並べ方は9通り。

* 黒石が4個続く場合：

黒石4個を一つのまとまりとすると、残りの黒石1個を並べる。

(1) 4個の黒石のまとまりの左に白石を置く場合： OOOOO B _ _ _ _ _ _ _

(2) 4個の黒石のまとまりの右に白石を置く場合： _ _ _ _ _ _ _ _ B OOOOO

黒石4個が続く並べ方の総数を求めるには、黒石5個が続く場合を除く。

この場合、黒石4個の塊の両端が白石である必要がある。

白石8個と黒石4個の塊を並べると9箇所できる。その各箇所に黒石1個を入れる並べ方を考える。

4個続く並びから、5個続く並びを除けばよい。

全並べ方から、5個続く場合と4個続く場合を除く。

3. 最終的な答え

(1) 奇数どうしが隣り合わない並べ方は 144 通り。

偶数どうしが隣り合わない並べ方は 1440 通り。

(2) (ア) 黒石どうしが隣り合わないように並べる並べ方は 126 通り。

(イ) 計算過程は省略。答えのみ：1278 通り。