ある地域で、A市、B市、C市に行ったことのある人全体の集合をそれぞれA、B、Cで表す。 $n(A) = 50$, $n(B) = 37$, $n(A \cap B) = 5$, $n(C \cap A) = 9$, $n(B \cup C) = 57$, $n(C \cup A) = 71$, $n(A \cup B \cup C) = 96$である。C市に行ったことのある人は何人か。つまり、$n(C)$を求める。

1. 問題の内容

ある地域で、A市、B市、C市に行ったことのある人全体の集合をそれぞれA、B、Cで表す。

$n(A) = 50$, $n(B) = 37$, $n(A \cap B) = 5$, $n(C \cap A) = 9$, $n(B \cup C) = 57$, $n(C \cup A) = 71$, $n(A \cup B \cup C) = 96$である。C市に行ったことのある人は何人か。つまり、$n(C)$を求める。

2. 解き方の手順

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

与えられた条件から、$n(A \cup B \cup C) = 96$, $n(A) = 50$, $n(B) = 37$, $n(A \cap B) = 5$, $n(C \cap A) = 9$ である。

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$57 = 37 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$より、$71 = n(C) + 50 - 9$

$71 = n(C) + 41$

$n(C) = 71 - 41 = 30$

これを$57 = 37 + n(C) - n(B \cap C)$に代入すると、$57 = 37 + 30 - n(B \cap C)$

$57 = 67 - n(B \cap C)$

$n(B \cap C) = 67 - 57 = 10$

$96 = 50 + 37 + n(C) - 5 - 10 - 9 + n(A \cap B \cap C)$

$96 = 50 + 37 + 30 - 5 - 10 - 9 + n(A \cap B \cap C)$

$96 = 93 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 3$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(A \cap C)$

$71 = n(C) + 50 - 9$

$n(C) = 71 - 50 + 9 = 30$

3. 最終的な答え

30人