C, L, E, A, R の5文字を全て使ってできる順列を、ACELRを1番目として辞書式に並べたとき、81番目の文字列を求める問題です。

1. 問題の内容

C, L, E, A, R の5文字を全て使ってできる順列を、ACELRを1番目として辞書式に並べたとき、81番目の文字列を求める問題です。

2. 解き方の手順

5文字 C, L, E, A, R を辞書式順に並べると A, C, E, L, R となります。

5文字の順列の総数は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

まず、先頭の文字を固定して、残りの4文字の順列を考えます。

4文字の順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

先頭が A のとき、1番目から24番目になります。

先頭が C のとき、25番目から48番目になります。

先頭が E のとき、49番目から72番目になります。

先頭が L のとき、73番目から96番目になります。

81番目は、先頭が L の範囲にあることがわかります。

73番目から数えて $81 - 72 = 9$ 番目の順列が求める文字列です。

先頭を L に固定して、残りの A, C, E, R を辞書式順に並べます。

次に、2文字目を固定して、残りの3文字の順列を考えます。

3文字の順列は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

LA から始まる順列は73番目から78番目です。

LC から始まる順列は79番目から84番目です。

81番目は LC から始まる順列の範囲にあることがわかります。

79番目から数えて $81 - 78 = 3$ 番目の順列が求める文字列です。

LC に固定して、残りの A, E, R を辞書式順に並べます。

LCA から始まる順列は79番目です。

LCE から始まる順列は80番目です。

LCR から始まる順列は81番目です。

したがって、81番目の文字列は LCR の後に A, E を辞書式順に並べたもの、つまり LCR AE です。

3. 最終的な答え

LCRAE