6人の生徒を3つの教室A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。ただし、どの教室も少なくとも1人はいるものとする。

1. 問題の内容

6人の生徒を3つの教室A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。ただし、どの教室も少なくとも1人はいるものとする。

2. 解き方の手順

まず、各生徒が教室A, B, Cのいずれかに入る場合の総数を考えます。各生徒は3つの選択肢があるので、6人の生徒の場合、総数は $3^6 = 729$通りです。

次に、少なくとも1つの教室が空になる場合を考えます。

* 1つの教室が空の場合：どの教室が空になるかの選び方は3通りあります。空でない2つの教室に6人の生徒が入るので、$2^6$通りですが、ここには1つの教室に全員が入る場合が2通り含まれているので、引く必要があります。したがって、$3(2^6 - 2) = 3(64 - 2) = 3 \times 62 = 186$通りです。

* 2つの教室が空の場合：どの2つの教室が空になるかの選び方は3通りあります。残りの1つの教室に6人全員が入るので、3通りです。

包除原理を用いると、少なくとも1つの教室が空である場合の数は、$186 + 3 = 189$となります。

しかし、1つの教室が空の場合を計算する際に、2つの教室が空の場合を重複して引いてしまっているため、上記の計算で正しい答えを得ることはできません。

そこで、余事象ではなく直接計算で解いていきます。

各教室に少なくとも1人が入るように生徒を分ける方法は、以下の3つのパターンに分けられます。

* 4人, 1人, 1人

* 3人, 2人, 1人

* 2人, 2人, 2人

それぞれのパターンについて、場合の数を計算します。

* 4人, 1人, 1人の場合：

6人から4人を選ぶ方法は$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

残りの2人から1人を選ぶ方法は$_{2}C_{1} = 2$通り。

最後の1人は自動的に決まる。

選んだ3つのグループをA, B, Cに割り当てる方法は3通り。

よって、$15 \times 2 \times 3 = 90$通り。

* 3人, 2人, 1人の場合：

6人から3人を選ぶ方法は$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

残りの3人から2人を選ぶ方法は$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

最後の1人は自動的に決まる。

選んだ3つのグループをA, B, Cに割り当てる方法は $3! = 6$通り。

よって、$20 \times 3 \times 6 = 360$通り。

* 2人, 2人, 2人の場合：

6人から2人を選ぶ方法は$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

残りの4人から2人を選ぶ方法は$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$通り。

最後の2人は自動的に決まる。

しかし、2人、2人、2人のグループの並び順は区別しないので、$3! = 6$で割る必要がある。

選んだ3つのグループをA, B, Cに割り当てる方法は1通り。

よって、$15 \times 6 \div (3!) = 15 \times 6 \div 6=15$。

これをA,B,Cに割り当てる方法は15通り。

したがって、求める場合の数は$90 + 360+90=540通りから、$ \frac{_{6}C_{2} * _{4}C_{2}}{3!}* 3! = 90$通りを引いて、

2人,2人,2人グループの場合は、A, B, Cの区別がないので、$\frac{_{6}C_{2} * _{4}C_{2} * _{2}C_{2}}{3!} = \frac{15 * 6 * 1}{6} = 15$通り

割り当てを考慮すると15*6 = 90となるため、割り当てをしない15を採用する

総数は$90 + 360 + 15 = 555$通りではない

しかし、各生徒が教室A,B,Cのうちのいずれかを選ぶ方法は$3^{6} = 729$通りある. ここから, すべての生徒が教室A, B, Cのうちの1つか2つに集中する場合を引く. 1つに集中する場合は3通り. 2つに集中する場合は$_{3}C_{2} * (2^{6} - 2) = 3 * 62 = 186$通り. 求める場合の数は, $729 - 3 - 186 = 540$通り.

3. 最終的な答え

540通り