与えられたグラフの隣接行列と連結行列を求め、連結行列からわかることを述べる。

1. 問題の内容

与えられたグラフの隣接行列と連結行列を求め、連結行列からわかることを述べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられたグラフのノードとエッジを特定する。次に、隣接行列と連結行列を作成する。最後に、連結行列からわかる情報を考察する。

(1) 隣接行列の作成：

隣接行列は、グラフのノード間の隣接関係を表す正方行列です。ノード $i$ からノード $j$ へ辺が存在する場合、行列の $(i, j)$ 成分は1になり、存在しない場合は0になります。有向グラフなので、辺の向きを考慮します。

(2) 連結行列の作成：

連結行列は、グラフのノードとエッジの接続関係を表す行列です。ノード $i$ がエッジ $e$ の始点である場合、行列の $(i, e)$ 成分は1になり、終点である場合は-1になります。エッジに関与しない場合は0になります。

(3) 連結行列からわかること：

連結行列の各行は、そのノードから出るエッジと入るエッジを示します。したがって、ノードの次数（入次数と出次数）がわかります。また、グラフ全体の連結性に関する情報も得られます。

それでは、具体的な行列を作成し、そこから分かることを記述します。エッジには番号を振ります：

1: 2 -> 1

2: 2 -> 3

3: 4 -> 2

4: 4 -> 5

5: 3 -> 5

隣接行列 A は以下のようになります:

$A = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

連結行列 B は以下のようになります:

$B = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 & -1

\end{pmatrix}$

連結行列から分かること：

* ノード1の入次数は1、出次数は0

* ノード2の入次数は1、出次数は2

* ノード3の入次数は1、出次数は1

* ノード4の入次数は0、出次数は2

* ノード5の入次数は2、出次数は0

* グラフは連結ではない（少なくともノード1へ到達するノードがない）

3. 最終的な答え

隣接行列：

$A = \begin{pmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

連結行列：

$B = \begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 & -1

\end{pmatrix}$

連結行列から分かること：各ノードの入次数と出次数、およびグラフの非連結性。