全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A \cup B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A \cup B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 A と B の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{2, 3, 5, 8\}$

$B = \{1, 3, 5\}$

$A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めるには、まず $\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A}$ は A の補集合であり、$U$ の要素のうち A に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 4, 6, 7, 9\}$

$\overline{B}$ は B の補集合であり、$U$ の要素のうち B に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

次に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。これは $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合であり、$\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ を求めます。これは $A \cup B$ の補集合です。まず $A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求めます。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{4, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ を求めます。まず $\overline{B}$ は (2) で求めた通りです。

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

次に、$A \cap \overline{B}$ を求めます。これは A と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$