## 問題

## 問題

画像に示された3つの数学の問題を解きます。

1. 単射と単射の合成が単射であることを示す。

2. 集合の濃度 $m, n, p$ に対して、$m \le n, n \le p$ ならば $m \le p$ を示す。

3. $(A, \le)$ が全順序集合のとき、その極大元は最大元であることを示す。

## 解き方の手順

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1. 単射と単射の合成が単射であることの証明

* **定義の確認:**

関数 $f: X \rightarrow Y$ が単射であるとは、任意の $x_1, x_2 \in X$ に対して、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ が成り立つことを意味します。

* **合成関数の定義:**

$f: X \rightarrow Y$ と $g: Y \rightarrow Z$ の合成関数を $g \circ f: X \rightarrow Z$ と書き、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ で定義します。

* **証明:**

$f: X \rightarrow Y$ と $g: Y \rightarrow Z$ を単射とします。$g \circ f: X \rightarrow Z$ が単射であることを示す必要があります。

$x_1, x_2 \in X$ に対して、$(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ と仮定します。このとき、

$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$

$g$ は単射であるから、$f(x_1) = f(x_2)$

$f$ は単射であるから、$x_1 = x_2$

したがって、$g \circ f$ は単射です。

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2. $m \le n, n \le p$ ならば $m \le p$ の証明

* **濃度の大小の定義:**

集合 $A$ と $B$ の濃度をそれぞれ $m$ と $n$ とします。$m \le n$ であるとは、$A$ から $B$ への単射が存在することを意味します。

* **証明:**

$A, B, C$ をそれぞれ濃度 $m, n, p$ の集合とします。

$m \le n$ より、$A$ から $B$ への単射 $f: A \rightarrow B$ が存在します。

$n \le p$ より、$B$ から $C$ への単射 $g: B \rightarrow C$ が存在します。

関数 $g \circ f: A \rightarrow C$ を考えると、1の証明より、これは単射です。

したがって、$A$ から $C$ への単射が存在するので、$m \le p$ が成り立ちます。

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3. 全順序集合の極大元は最大元であることの証明

* **全順序集合の定義:**

集合 $A$ が全順序集合であるとは、$A$ の任意の2つの要素 $a, b$ に対して、$a \le b$ または $b \le a$ が成り立つことを意味します。

* **極大元の定義:**

$A$ の要素 $x$ が極大元であるとは、任意の $y \in A$ に対して、$x \le y$ ならば $x = y$ が成り立つことを意味します。言い換えると、 $x$ より大きい要素が存在しないということです。

* **最大元の定義:**

$A$ の要素 $x$ が最大元であるとは、任意の $y \in A$ に対して、$y \le x$ が成り立つことを意味します。言い換えると、 $A$ の全ての要素が $x$ 以下ということです。

* **証明:**

$A$ を全順序集合とし、$x$ を $A$ の極大元とします。$x$ が $A$ の最大元であることを示す必要があります。

$A$ の任意の要素 $y$ を取ります。

$A$ は全順序集合なので、$x \le y$ または $y \le x$ が成り立ちます。

$x \le y$ の場合、$x$ は極大元なので、$x = y$ でなければなりません。

したがって、$y \le x$ または $x = y$ が成り立つので、常に $y \le x$ が成り立ちます。

これは、$x$ が $A$ の最大元であることを意味します。

## 最終的な答え

1. 単射 $f$ と $g$ の合成関数 $g \circ f$ は単射である。

2. $m \le n, n \le p$ ならば $m \le p$ である。

3. 全順序集合 $(A, \le)$ の極大元は最大元である。