全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合$A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$が与えられている。 次の集合を求めよ。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合$A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$が与えられている。

次の集合を求めよ。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、補集合$\overline{A}$と$\overline{B}$を求める。

$\overline{A}$は全体集合$U$から集合$A$の要素を取り除いたものなので、$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$。

$\overline{B}$は全体集合$U$から集合$B$の要素を取り除いたものなので、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$。

次に、$A \cup B$を求める。$A \cup B$は$A$と$B$のすべての要素を含む集合なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 6\}$。

$\overline{A \cup B}$は全体集合$U$から集合$A \cup B$の要素を取り除いたものなので、$\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$。

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap \overline{B}$は$A$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$。

(3) $\overline{A} \cap B$は$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合なので、$\overline{A} \cap B = \{6\}$。

(4) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$ (すでに計算済み)

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$は$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合なので、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5\}$。

(6) $A \cap \overline{B}$は$A$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$。(すでに計算済み)

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{4, 5\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 5\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$