以下の4つの問題に答えます。 (1) 6個の数字 1, 1, 2, 2, 2, 2 を1列に並べてできる6桁の整数は全部で何個できるか。 (2) x 5個, y 3個, z 2個のすべての文字を1列に並べる方法は何通りあるか。 (3) 赤玉4個、白玉2個、青玉1個を1列に置いていく方法は何通りあるか。ただし、同色の玉は区別しないものとする。 (4) correct の 7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

以下の4つの問題に答えます。

(1) 6個の数字 1, 1, 2, 2, 2, 2 を1列に並べてできる6桁の整数は全部で何個できるか。

(2) x 5個, y 3個, z 2個のすべての文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

(3) 赤玉4個、白玉2個、青玉1個を1列に置いていく方法は何通りあるか。ただし、同色の玉は区別しないものとする。

(4) correct の 7文字を1列に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6個の数字を並べる総数は 6! ですが、同じ数字が複数あるので、それらの順列で割る必要があります。1が2個、2が4個あるので、

$\frac{6!}{2!4!}$

を計算します。

(2) 合計10個の文字を並べるので、総数は 10! です。同じ文字が複数あるので、xが5個、yが3個、zが2個あることから、

$\frac{10!}{5!3!2!}$

を計算します。

(3) 合計7個の玉を並べるので、総数は 7! です。同じ色の玉は区別しないので、赤玉4個、白玉2個があるので、

$\frac{7!}{4!2!1!}$

を計算します。

(4) correctの7文字を並べる総数は 7! です。同じ文字が複数あるので、cが2個、rが2個あることから、

$\frac{7!}{2!2!}$

を計算します。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

15個

(2)

$\frac{10!}{5!3!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 2} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 \times 3 = 2520$

2520通り

(3)

$\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{2} = 7 \times 3 \times 5 = 105$

105通り

(4)

$\frac{7!}{2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{4} = 1260$

1260通り