論理式 $(A \land (A \to B)) \to B$ が恒真命題であることを、(1) 真理値表、(2) 論理演算のみを用いて示す。

1. 問題の内容

論理式 $(A \land (A \to B)) \to B$ が恒真命題であることを、(1) 真理値表、(2) 論理演算のみを用いて示す。

2. 解き方の手順

(1) 真理値表による証明

AとBの全ての組み合わせに対して、$A \land (A \to B)$と$(A \land (A \to B)) \to B$の真理値を計算する。$A \to B$は「AならばB」であり、Aが真でBが偽のときのみ偽、それ以外は真となる。

$A \land (A \to B)$ は A と $A \to B$ の両方が真のときのみ真となる。

$(A \land (A \to B)) \to B$ は、$A \land (A \to B)$ が真でBが偽のときのみ偽、それ以外は真となる。

| A | B | A → B | A ∧ (A → B) | (A ∧ (A → B)) → B |

|---|---|-------|-------------|-------------------|

| T | T | T | T | T |

| T | F | F | F | T |

| F | T | T | F | T |

| F | F | T | F | T |

真理値表を見ると、$(A \land (A \to B)) \to B$ は常に真(T)である。したがって、この論理式は恒真命題である。

(2) 論理演算による証明

$(A \land (A \to B)) \to B$ を論理演算を用いて変形し、恒真命題であることを示す。

まず、含意 $A \to B$ を $\lnot A \lor B$ で置き換える。

$(A \land (A \to B)) \to B = (A \land (\lnot A \lor B)) \to B$

次に、含意 $X \to Y$ を $\lnot X \lor Y$ で置き換える。

$(A \land (\lnot A \lor B)) \to B = \lnot (A \land (\lnot A \lor B)) \lor B$

ド・モルガンの法則 $\lnot (X \land Y) = \lnot X \lor \lnot Y$ を適用する。

$\lnot (A \land (\lnot A \lor B)) \lor B = \lnot A \lor \lnot (\lnot A \lor B) \lor B$

再びド・モルガンの法則 $\lnot (X \lor Y) = \lnot X \land \lnot Y$ を適用する。

$\lnot A \lor \lnot (\lnot A \lor B) \lor B = \lnot A \lor (\lnot \lnot A \land \lnot B) \lor B$

二重否定の除去 $\lnot \lnot A = A$ を適用する。

$\lnot A \lor (\lnot \lnot A \land \lnot B) \lor B = \lnot A \lor (A \land \lnot B) \lor B$

分配法則 $X \lor (Y \land Z) = (X \lor Y) \land (X \lor Z)$ を適用する。

$\lnot A \lor (A \land \lnot B) \lor B = (\lnot A \lor A) \land (\lnot A \lor \lnot B) \lor B$

$\lnot A \lor A$ は常に真(T)である。

$(\lnot A \lor A) \land (\lnot A \lor \lnot B) \lor B = T \land (\lnot A \lor \lnot B) \lor B$

$T \land X = X$ より

$T \land (\lnot A \lor \lnot B) \lor B = (\lnot A \lor \lnot B) \lor B$

結合法則 $X \lor (Y \lor Z) = (X \lor Y) \lor Z$ を適用する。

$(\lnot A \lor \lnot B) \lor B = \lnot A \lor (\lnot B \lor B)$

$\lnot B \lor B$ は常に真(T)である。

$\lnot A \lor (\lnot B \lor B) = \lnot A \lor T$

$\lnot A \lor T$ は常に真(T)である。

$\lnot A \lor T = T$

したがって、$(A \land (A \to B)) \to B$ は恒真命題である。

3. 最終的な答え

(1) 真理値表より、$(A \land (A \to B)) \to B$ は恒真命題である。

(2) 論理演算による変形より、$(A \land (A \to B)) \to B$ は恒真命題である。