集合 $A = \{x | x < -1, 4 < x\}$、集合 $B = \{x | x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | x < -1, 4 < x\}$、集合 $B = \{x | x \le -3, 2 \le x\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ を整理します。

$A = \{x | x < -1 \text{ または } 4 < x\}$

$B = \{x | x \le -3 \text{ または } 2 \le x\}$

$\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$\overline{A} = \{x | -1 \le x \le 4\}$

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = \{x | -3 < x < 2\}$

(1) $A \cap B$ を求めます。これは $A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B = \{x | (x < -1 \text{ または } 4 < x) \text{ かつ } (x \le -3 \text{ または } 2 \le x)\}$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \text{ または } x > 4 \text{ または } (2 \le x < -1) \}$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \text{ または } x > 4 \text{ または } 2 \le x \}$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \text{ または } 4 < x \text{ または } x \ge 2\}$

$A \cap B = \{x | x \le -3 \text{ または } 2 \le x\}$

したがって、$A \cap B = B$ です。選択肢から、$B$ を表すイ. $\{x | x \le -3, 2 \le x \}$ が解答となります。

(2) $A \cup B$ を求めます。これは $A$ と $B$ の和集合です。

$A \cup B = \{x | (x < -1 \text{ または } 4 < x) \text{ または } (x \le -3 \text{ または } 2 \le x)\}$

$A \cup B = \{x | x < -1 \text{ または } 4 < x \text{ または } x \le -3 \text{ または } 2 \le x\}$

$A \cup B = \{x | x < -1 \text{ または } x \le -3 \text{ または } 2 \le x \text{ または } x > 4\}$

$A \cup B = \{x | x < -1 \text{ または } 2 \le x\}$

選択肢から、ア. $\{x | x < -1, 2 \le x \}$ が解答となります。

(3) $\overline{A} \cap B$ を求めます。

$\overline{A} \cap B = \{x | -1 \le x \le 4 \text{ かつ } (x \le -3 \text{ または } 2 \le x)\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | (-1 \le x \le 4 \text{ かつ } x \le -3) \text{ または } (-1 \le x \le 4 \text{ かつ } 2 \le x)\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | x \in \emptyset \text{ または } 2 \le x \le 4\}$

$\overline{A} \cap B = \{x | 2 \le x \le 4\}$

選択肢から、ケ. $\{x | 2 \le x \le 4\}$ が解答となります。

(4) $A \cup \overline{B}$ を求めます。

$A \cup \overline{B} = \{x | (x < -1 \text{ または } 4 < x) \text{ または } (-3 < x < 2)\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -1 \text{ または } 4 < x \text{ または } -3 < x < 2\}$

$A \cup \overline{B} = \{x | x < -1 \text{ または } -3 < x < 2 \text{ または } 4 < x\}$

選択肢から、オ. $\{x | x < 2, 4 < x \}$

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) ア

(3) ケ

(4) オ