1から6までの番号がついた6個の箱があり、赤、黄、青の玉がそれぞれ2個ずつ、合計6個ある。各箱に1つずつ玉を入れるとき、隣り合う番号の箱には異なる色の玉が入るようにする方法は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

1から6までの番号がついた6個の箱があり、赤、黄、青の玉がそれぞれ2個ずつ、合計6個ある。各箱に1つずつ玉を入れるとき、隣り合う番号の箱には異なる色の玉が入るようにする方法は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、1番の箱に入れる玉の色を決定する。赤、黄、青の3通りの選び方がある。

次に、2番の箱に入れる玉の色を決定する。1番の箱に入れた色以外の2通りの選び方がある。

3番の箱に入れる玉の色は、2番の箱に入れた色以外の2通りの選び方がある。同様に、4番、5番の箱もそれぞれ2通りの選び方がある。

6番の箱に入れる玉の色は、5番の箱に入れた色と異なる必要がある。また、1番の箱の色とも異なる必要がある。

ここで場合分けを行う。

a) 1番の箱の色と5番の箱の色が異なる場合、6番の箱に入れる玉の色は1通りに決まる。

b) 1番の箱の色と5番の箱の色が同じ場合、6番の箱に入れる玉の色は2通りある。

ここで、1番から5番の箱の色を固定したときに、1番と5番の色が異なる場合の数と、同じ場合の数を求めることを考える。

1番から5番までの色の決め方について、隣り合う色が異なる色の組み合わせの総数は $3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 48$通りある。

1番と5番の色が同じになる場合の数を考える。1番の色を固定すると、2番、3番、4番の色の選び方はそれぞれ2通りである。5番の色は1番と同じ色なので、選び方は1通り。したがって、$3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 = 24$通り。

1番と5番の色が異なる場合の数は、$48 - 24 = 24$通り。

よって、

a) 1番と5番の色が異なる場合(24通り)は、6番の色は1通りなので、24通り。

b) 1番と5番の色が同じ場合(24通り)は、6番の色は2通りなので、$24 \times 2 = 48$通り。

したがって、合計の入れ方は$24 + 48 = 72$通りである。

3. 最終的な答え

30通り