与えられた条件を満たす整数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。4つの小問があります。 (1) $x + y + z = 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$) (2) $x + y + z = 8$ ($x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$) (3) $x + y + z \leq 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$) (4) $x + y + z = 20$ ($x \geq 3, y \geq 4, z \geq 5$)

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす整数 $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。4つの小問があります。

(1) $x + y + z = 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$)

(2) $x + y + z = 8$ ($x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$)

(3) $x + y + z \leq 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$)

(4) $x + y + z = 20$ ($x \geq 3, y \geq 4, z \geq 5$)

2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題です。

$x + y + z = 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$) の解の個数は、8個の同じものから3種類のものを選ぶ重複組み合わせの数に等しく、

${}_3H_8 = {}_{3+8-1}C_8 = {}_{10}C_8 = {}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 個です。

(2) $x + y + z = 8$ ($x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$)

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \geq 0$ となり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 8$

$x' + y' + z' = 5$ ($x' \geq 0, y' \geq 0, z' \geq 0$)

よって、${}_3H_5 = {}_{3+5-1}C_5 = {}_7C_5 = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 個です。

(3) $x + y + z \leq 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$)

$x + y + z + w = 8$ ($x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, w \geq 0$) と変形します。

これは重複組み合わせの問題で、${}_4H_8 = {}_{4+8-1}C_8 = {}_{11}C_8 = {}_{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$ 個です。

(4) $x + y + z = 20$ ($x \geq 3, y \geq 4, z \geq 5$)

$x' = x - 3, y' = y - 4, z' = z - 5$ とおくと、$x', y', z' \geq 0$ となり、

$(x' + 3) + (y' + 4) + (z' + 5) = 20$

$x' + y' + z' = 8$ ($x' \geq 0, y' \geq 0, z' \geq 0$)

よって、${}_3H_8 = {}_{3+8-1}C_8 = {}_{10}C_8 = {}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 個です。

3. 最終的な答え

(1) 45個

(2) 21個

(3) 165個

(4) 45個