問題は以下の3つです。 (1) 異なる10冊の本の中から3冊を選んで本棚に1列に並べるとき、並べ方は何通りか。 (2) 6人のリレー選手の中から4人を選んで走る順番を決めるとき、何通りか。 (3) 5人が1列に並ぶとき、並び方は何通りか。 (4) 1～10までの整数が書かれたカードがある。これを使って4桁の整数を作るとき、何通りできるか。

はい、承知いたしました。問題文を読み取り、順番に回答します。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(1) 異なる10冊の本の中から3冊を選んで本棚に1列に並べるとき、並べ方は何通りか。

(2) 6人のリレー選手の中から4人を選んで走る順番を決めるとき、何通りか。

(3) 5人が1列に並ぶとき、並び方は何通りか。

(4) 1～10までの整数が書かれたカードがある。これを使って4桁の整数を作るとき、何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる10冊の本の中から3冊を選んで並べる順列の問題です。順列の公式 $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ を使います。今回は $n=10$、 $r=3$ です。

$$_{10}P_3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

(2) 6人のリレー選手の中から4人を選んで走る順番を決める順列の問題です。順列の公式 $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ を使います。今回は $n=6$、 $r=4$ です。

$$_{6}P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$$

(3) 5人が1列に並ぶ順列の問題です。これは5人の並び方なので、5の階乗で計算できます。

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

(4) 1～10までの整数が書かれたカードを使って4桁の整数を作る問題です。ただし、問題文に「同じ数字を使えるかどうか」の記載がないため、ここでは「同じ数字は使えない」と仮定して解きます。

10枚のカードから4枚を選んで並べる順列なので、順列の公式 $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ を使います。今回は $n=10$、 $r=4$ です。

$$_{10}P_4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$

もし同じ数字を使える場合は、$10^4=10000$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 360通り

(3) 120通り

(4) 5040通り（同じ数字を使えない場合）または 10000通り（同じ数字を使える場合）