与えられた順列、重複順列、組み合わせの値を計算する問題です。 (1) $ {}_6P_3 $ (2) $ {}_4\Pi_3 $ (3) $ {}_{80}C_{78} $

1. 問題の内容

与えられた順列、重複順列、組み合わせの値を計算する問題です。

(1) ${}_6P_3$

(2) ${}_4\Pi_3$

(3) ${}_{80}C_{78}$

2. 解き方の手順

(1) 順列 ${}_nP_r$ は、n個のものからr個を選んで並べる場合の数を表し、${}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ で計算できます。

この場合、${}_6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4$ で計算します。

(2) 重複順列 ${}_n\Pi_r$ は、n個のものから重複を許してr個を選んで並べる場合の数を表し、${}_n\Pi_r = n^r$ で計算できます。

この場合、${}_4\Pi_3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4$ で計算します。

(3) 組み合わせ ${}_nC_r$ は、n個のものからr個を選ぶ場合の数を表し、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できます。

この場合、${}_{80}C_{78} = \frac{80!}{78!(80-78)!} = \frac{80!}{78!2!} = \frac{80 \times 79 \times 78!}{78! \times 2 \times 1} = \frac{80 \times 79}{2}$ で計算します。また、${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$の関係を用いると、${}_{80}C_{78} = {}_{80}C_{80-78} = {}_{80}C_2$となり、${}_{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2 \times 1}$で計算してもよい。

3. 最終的な答え

(1) ${}_6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$

(2) ${}_4\Pi_3 = 4^3 = 64$

(3) ${}_{80}C_{78} = \frac{80 \times 79}{2} = 40 \times 79 = 3160$

答え：

(1) 120

(2) 64

(3) 3160