全体集合 $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられています。 * $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$ * $\overline{A \cap \overline{B}} = \{2, 8\}$ * $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ これらの条件から、集合 $A$, $B$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられています。

* $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$

* $\overline{A \cap \overline{B}} = \{2, 8\}$

* $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$

これらの条件から、集合 $A$, $B$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件からわかることを整理します。

* $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$ より、$A \cup B = X - \{0, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

* $\overline{A \cap \overline{B}} = \{2, 8\}$ より、$X - (A \cap \overline{B}) = \{2, 8\}$ となり、$A \cap \overline{B} = X - \{2, 8\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

しかし、$A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ との矛盾が生じています。問題文に誤りがある可能性が高いです。

ここでは問題文の

* $\overline{A \cap \overline{B}} = \{2, 8\}$

を

* $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$

の誤りとして解きます。

* $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

* $A \cap \overline{B} = A - B = \{4, 6\}$

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の要素をすべて含みます。$A - B$ は、$A$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合です。

$A = (A \cap B) \cup (A - B)$ が成り立ちます。ここで、$A - B = \{4, 6\}$ であることがわかっているので、$A \cap B$ を求める必要があります。

$A \cup B = (A - B) \cup (B - A) \cup (A \cap B)$ なので、$B - A$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ であり、$A-B = \{4, 6\}$ なので、$A \cup B = \{4, 6\} \cup (B-A) \cup (A \cap B)$ となります。

また、$B = (B \cap A) \cup (B - A)$ が成り立つので、$B-A$ の要素は、$A$ に含まれていない $A \cup B$ の要素です。

よって、$B - A \subset A \cup B$ かつ $B - A \cap A = \emptyset$ です。$A - B = \{4, 6\} \subset A$ なので $4, 6$ は $B-A$ には含まれません。

次に、$A \cap B$ を求めていきます。

$A \cap B = (A \cup B) - (A - B) - (B-A)$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A - B = \{4, 6\}$

$n(\overline{A \cup B}) = |\{0, 9\}| = 2$

$B$ にだけ含まれる要素の集合を $B'$ と表すと、$B' = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ です。

このことから、$A = \{4, 6\} \cup X$、$B = B' \cup X$ となります。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ なので、$A = \{4, 6\}$ かつ $B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$ とはなりません。

$A \cap B = \emptyset$

とすると、$A = \{4, 6\}$ で、$B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ を満たしています。

この場合、$A \cap \overline{B} = A = \{4, 6\}$ も成り立ちます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ なので $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$ となり、与えられた条件を満たします。

3. 最終的な答え

$A = \{4, 6\}$

$B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$

$n(\overline{A \cup B}) = 2$