与えられた数字1, 1, 2, 2, 3, 3を使って6桁の整数を作る。 (1) このような整数は何通りあるか。 (2) 220000より大きいものは何通りあるか。

1. 問題の内容

与えられた数字1, 1, 2, 2, 3, 3を使って6桁の整数を作る。

(1) このような整数は何通りあるか。

(2) 220000より大きいものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数を作る総数を求める。

1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じものを含む順列の公式を用いる。

$$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$$

(2) 220000より大きい整数を求める。

先頭が2の時、残りの5つの数字で条件を満たすものを探す。

i) 先頭が3の場合: 残りの5つの数字は1, 1, 2, 2, 3である。

これらの数字の並べ方は$\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$通り。

ii) 先頭が2の場合: 22XXXXの形になる。

a) 221133 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

b) 221313 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

c) 221331 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

d) 223113 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

e) 223131 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

f) 223311 の並び替え: $\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り

残りの数字は1, 1, 3, 3。この並べ方は$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り。

したがって、220000より大きい整数は、先頭が3の場合と、先頭が2で22XXXXの場合を足し合わせる。

$30 + 6 = 36$

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 36通り