与えられた順列 $(4, 2, 5, 1, 3)$ に対して、隣接する要素の入れ替え（互換）を繰り返し行うことで、順列 $(1, 2, 3, 4, 5)$ に並び替える問題です。必要な互換の回数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた順列 $(4, 2, 5, 1, 3)$ に対して、隣接する要素の入れ替え（互換）を繰り返し行うことで、順列 $(1, 2, 3, 4, 5)$ に並び替える問題です。必要な互換の回数を求めます。

2. 解き方の手順

バブルソートの考え方を利用して解きます。順列の要素を左から順番に正しい位置に並び替えていきます。

* まず、1を正しい位置に移動させます。$(4, 2, 5, 1, 3)$ から始め、1を左に移動させるには、3回の互換が必要です。

$(4, 2, 5, 1, 3) \rightarrow (4, 2, 1, 5, 3) \rightarrow (4, 1, 2, 5, 3) \rightarrow (1, 4, 2, 5, 3)$

* 次に、2を正しい位置に移動させます。現在の順列は $(1, 4, 2, 5, 3)$ です。2を左に移動させるには、2回の互換が必要です。

$(1, 4, 2, 5, 3) \rightarrow (1, 2, 4, 5, 3)$

* 次に、3を正しい位置に移動させます。現在の順列は $(1, 2, 4, 5, 3)$ です。3を左に移動させるには、2回の互換が必要です。

$(1, 2, 4, 5, 3) \rightarrow (1, 2, 4, 3, 5) \rightarrow (1, 2, 3, 4, 5)$

これで順列 $(1, 2, 3, 4, 5)$ が得られました。互換の回数は $3 + 2 + 2 = 7$ 回です。

3. 最終的な答え

7回