全体集合 $U = \{x | x は 10 以下の正の整数\}$、部分集合 $A = \{x | x は 2 の倍数\}$、$B = \{x | x は 3 の倍数\}$、$C = \{x | x は 4 の倍数\}$ が与えられています。 以下の集合を求め、選択肢から記号で答えます。 (1) $\overline{A} \cup \overline{C}$ (2) $\overline{B} \cap \overline{C}$ (3) $\overline{B \cup C}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (5) $A \cap B \cap C$ (6) $A \cup B \cup C$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x は 10 以下の正の整数\}$、部分集合 $A = \{x | x は 2 の倍数\}$、$B = \{x | x は 3 の倍数\}$、$C = \{x | x は 4 の倍数\}$ が与えられています。

以下の集合を求め、選択肢から記号で答えます。

(1) $\overline{A} \cup \overline{C}$

(2) $\overline{B} \cap \overline{C}$

(3) $\overline{B \cup C}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(5) $A \cap B \cap C$

(6) $A \cup B \cup C$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A, B, C$ を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

$C = \{4, 8\}$

(1) $\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$ (答え：オ)

(2) $\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 2, 5, 7, 10\}$ (答え：カ)

(3) $B \cup C = \{3, 4, 6, 8, 9\}$

$\overline{B \cup C} = U - (B \cup C) = \{1, 2, 5, 7, 10\}$ (答え：カ)

(4) $\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ (選択肢にないため、最も近いサを選択。問題文に誤りがある可能性も考慮する)

選択肢の中で近いものを選ぶと、サの $\{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$に近いコ $\{1,2,3,5,6,7,9\}$ もしくはサ$\{1,2,3,5,6,7,9,10\}$が考えられる。しかし、これらの要素は$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$と一致しない。問題文に誤りがある可能性がある。

(5) $A \cap B = \{6\}$

$A \cap B \cap C = \{6\} \cap C = \{6\} \cap \{4, 8\} = \emptyset$ (答え：ア)

(6) $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

$A \cup B \cup C = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\} \cup \{4, 8\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ (答え：ケ)

3. 最終的な答え

(1) オ

(2) カ

(3) カ

(4) サ

(5) ア

(6) ケ