問題文は、集合、順列、円順列、重複順列、組合せ、同じものを含む順列に関する8つの小問から構成されています。

1. 問題の内容

問題文は、集合、順列、円順列、重複順列、組合せ、同じものを含む順列に関する8つの小問から構成されています。

2. 解き方の手順

(1) 集合の要素の個数

* 全体集合を $U = \{1, 2, \dots, 100\}$ とします。

* 3の倍数の集合を $A$、5の倍数の集合を $B$ とします。

* $\bar{A}$ は $A$ の補集合を表します。

* $n(S)$ は集合 $S$ の要素の個数を表します。

まず、$n(A)$ を求めます。100以下の3の倍数は、3, 6, 9, ..., 99 なので、その個数は $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$ です。したがって、$n(A) = 33$ です。

次に、$n(\bar{A})$ を求めます。$n(\bar{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 33 = 67$ です。

最後に、$n(A \cup B)$ を求めます。

$n(B) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$ です。

$A \cap B$ は15の倍数の集合なので、$n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$ です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 33 + 20 - 6 = 47$ です。

(2) 順列(1)

男子3人、女子4人の並び方について考えます。

女子4人が連続して並ぶ場合、女子4人をひとまとめにして考えると、4人（男子3人＋女子のグループ1つ）の並び方を考えます。これは $4!$ 通りです。さらに、女子4人の並び方は $4!$ 通りあります。したがって、女子4人が連続して並ぶ並び方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通りです。

両端に男子が並ぶ場合、まず両端に並ぶ男子の選び方は $3 \times 2 = 6$ 通りです。残りの5人（男子1人＋女子4人）の並び方は $5! = 120$ 通りです。したがって、両端に男子が並ぶ並び方は $6 \times 120 = 720$ 通りです。

(3) 順列(2)

a, b, c, dの文字を1文字ずつ並べます。どのマス目も上の大文字と同じ文字の小文字は並べないものとします。

まず、Aにa以外の文字を入れます。3通り。

例えばbを入れたとき、Bにはb以外の文字を入れます。

1. Bにaを入れたとき、C,Dはc,dのどちらかを入れますが、Cにcを入れられないので、d,cの順に入れます。これは1通り。

2. Bにcを入れたとき、C,Dはa,dのどちらかを入れますが、Cにcを入れられないので、d,aの順に入れます。これは1通り。

3. Bにdを入れたとき、C,Dはa,cのどちらかを入れますが、Cにcを入れられないので、a,cの順に入れます。これは1通り。

Aにbを入れたとき、3通りあります。Aにc,dを入れても同様に3通りずつあるので、全部で $3\times3 = 9$ 通りあります。

(4) 円順列・じゅず順列

色の異なる7個の玉を円形に並べる方法は $(7-1)! = 6! = 720$ 通りです。

また、この7個の玉を使って腕輪を作る方法は、円順列の数を2で割ったものなので、$\frac{720}{2} = 360$ 通りです。

(5) 重複順列

2種類の文字AとBについて、重複を許して5個を一列に並べる方法は $2^5 = 32$ 通りです。

また、この2種類の文字を、重複を許して2個以上5個以下で一列に並べる方法は、$2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 4 + 8 + 16 + 32 = 60$ 通りです。

(6) 組合せ(1)

6人の子どもa, b, c, d, e, fと5人の大人A, B, C, D, Eの合わせて11人の中から5人を選びます。

a, bをともに含む方法は、残りの9人から3人を選ぶ方法なので、${9 \choose 3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通りです。

c, Cをともに含めて子ども3人、大人2人を選ぶ方法は、cを含めて子どもをあと2人、Cを含めて大人をあと1人選ぶ方法なので、残りの子ども5人から2人を選び、残りの大人4人から1人を選ぶ方法を考えます。${5 \choose 2} \times {4 \choose 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 4 = 10 \times 4 = 40$ 通りです。

(7) 組合せ(2)

7人の生徒を3人のA組、2人のB組、2人のC組に分ける方法は、${7 \choose 3} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 35 \times 6 \times 1 = 210$ 通りです。

3人、2人、2人の3組に分ける方法は210通りなので、A組、B組、C組を区別しない場合は、210通りを組の人数が同じ組の並び方（2!）で割ります。よって、$\frac{210}{2!} = 105$通りです。

(8) 同じものを含む順列

aが3個、bが2個、cが2個あります。これら7文字を一列に並べてできる文字列の数は、$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{24} = 210$ 通りです。

このうちb2個が隣り合わないものは、まずa3個とc2個を並べます。これは$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

次に、b2個をaとcの並びの間に並べます。a3個とc2個を並べたときのaとcの間の隙間は6箇所あります。この6箇所から2箇所選んでbを並べればよいので、${6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

したがって、b2個が隣り合わないものは $10 \times 15 = 150$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) アイ: 33, ウエ: 67, オカ: 47

(2) キクケ: 576, コサン: 720

(3) ス: 9

(4) セソタ: 720, チッテ: 360

(5) トナ: 32, ニヌ: 60

(6) ネノ: 84, ハヒ: 40

(7) フヘホ: 210, マミム: 105

(8) メモヤ: 210, ユヨラ: 150