全体集合 $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ が、以下の条件を満たすとき、集合 $A, B$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求めよ。 $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$ $\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 8\}$ $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$

1. 問題の内容

全体集合 $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ が、以下の条件を満たすとき、集合 $A, B$ と $n(\overline{A \cup B})$ を求めよ。

$\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 8\}$

$A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ なので、$\overline{A \cup B} = \{2, 8\}$ と $\overline{A \cup B} = \{0, 9\}$ は矛盾しているように見えます。しかし、問題文をよく読むと $\overline{A\cup B} = \{0, 9\}$ の上に線が引かれているので $\overline{\overline{A\cup B}} = A\cup B$ と解釈できます。つまり $A \cup B = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2,8\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ となります。

次に、$\overline{A \cup B} = \{2, 8\}$ より、$A \cup B = X - \{2, 8\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ である。

また、$A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ である。これは、$A$ に含まれていて $B$ に含まれない要素が $4$ と $6$ であることを意味する。

$X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ なので、$A \cup B$ に含まれない要素は $\{2, 8\}$ である。

したがって、$A \cup B$ から $A$ に含まれていて $B$ に含まれない要素を除くと、

$B = (A \cup B) - (A \cap \overline{B}) = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\} - \{4, 6\} = \{0, 1, 3, 5, 7, 9\}$。

また、$A = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)$ と書けるので、$A = \{4, 6\} \cup (A \cap B)$ となる。

ここで、$A \cap B$ が必要となる。$A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A}) \cup (A \cap B)$ となる。

$\{0, 1, 3, 5, 7, 9, 4, 6\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ で、$B \cap \overline{A}$ を求める必要がある。

$B \cap \overline{A} = B - A$ なので、$B$ から $A$ に含まれる要素を除けば良い。

$A \cup B = X - \{2, 8\} = \{0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$。

$\overline{A \cup B} = \{2, 8\}$ より、$n(\overline{A \cup B}) = 2$。

$A = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$, $B = \{0, 3, 5, 6, 7, 9\}$

$A \cap B=\{3, 5, 7\}$

$A=\{4, 6\}\cup A\cap B$

$A \cap B= \{1, 3, 5, 6, 7\}$

$A = \{3,4,5,6,7\}$

$B = \{0, 1,3,5,7,9\}$

$A \cap \overline B$ は $\{4, 6\}$ を満たさないから、誤り

3. 最終的な答え

$A = \{1,3,4,5,6,7\}$

$B=\{0,3,5,6,7,9\}$

$n(\overline{A \cup B}) = 2$