「たいいくたいかい」の8文字を1列に並べる。 (1) 異なる並べ方は何通りあるか。 (2) 「く」、「か」がこの順にある並べ方は何通りあるか。 (3) 2つの「た」が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

「たいいくたいかい」の8文字を1列に並べる。

(1) 異なる並べ方は何通りあるか。

(2) 「く」、「か」がこの順にある並べ方は何通りあるか。

(3) 2つの「た」が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

「たいいくたいかい」の8文字のうち、「い」が3つ、「た」が2つある。したがって、異なる並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いる。

全体の並べ方 $= \frac{8!}{3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{40320}{12} = 3360$通り。

(2)

まず、「く」と「か」を同じ文字○とみなす。「たいい○たい○い」の8文字の並べ方を考える。

これは、$\frac{8!}{3!2!} = 3360$通り。

「く」と「か」の順序は固定なので、○を「く」と「か」に置き換える方法は1通り。

したがって、「く」、「か」がこの順にある並べ方は3360通り。

(3)

まず、「た」以外の6文字「いいいくあい」を並べる。これは $\frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

次に、6文字の並びの隙間（両端を含む）7か所から2か所を選んで「た」を入れる。これは ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

したがって、2つの「た」が隣り合わない並べ方は $120 \times 21 = 2520$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 3360通り

(2) 3360通り

(3) 2520通り