集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 上の二項関係 $R = \{(x, y) | x, y \in A, x - y \text{ は3の倍数}\}$ について、以下の問いに答える。 (1) $R$ を外延的表現で表す。 (2) $R$ が同値関係であることを示す。 (3) $A$ の $R$ に関する同値類を全て求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 上の二項関係 $R = \{(x, y) | x, y \in A, x - y \text{ は3の倍数}\}$ について、以下の問いに答える。

(1) $R$ を外延的表現で表す。

(2) $R$ が同値関係であることを示す。

(3) $A$ の $R$ に関する同値類を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $R$ を外延的表現で表す。

$x, y \in A$ であり、$x - y$ が3の倍数であるような $(x, y)$ の組み合わせをすべて列挙する。

$x - y$ が3の倍数であるとは、$x - y = 3k$ ($k$は整数) となることと同値である。

まず、$x = 0$ のとき、$y = 0, 3, 6$

次に、$x = 1$ のとき、$y = 1, 4$

次に、$x = 2$ のとき、$y = 2, 5$

次に、$x = 3$ のとき、$y = 0, 3, 6$

次に、$x = 4$ のとき、$y = 1, 4$

次に、$x = 5$ のとき、$y = 2, 5$

最後に、$x = 6$ のとき、$y = 0, 3, 6$

したがって、$R = \{(0, 0), (0, 3), (0, 6), (1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (4, 1), (4, 4), (5, 2), (5, 5), (6, 0), (6, 3), (6, 6)\}$

(2) $R$ が同値関係であることを示す。

同値関係であるためには、反射律、対称律、推移律が成立する必要がある。

* 反射律: 任意の $x \in A$ に対して $(x, x) \in R$ であること。

$x - x = 0$ であり、0は3の倍数なので、$(x, x) \in R$。したがって反射律は成立する。

* 対称律: 任意の $x, y \in A$ に対して $(x, y) \in R$ ならば $(y, x) \in R$ であること。

$(x, y) \in R$ とすると、$x - y$ は3の倍数である。つまり、$x - y = 3k$ ($k$は整数)。

このとき、$y - x = -(x - y) = -3k = 3(-k)$ であり、$y - x$ も3の倍数である。したがって $(y, x) \in R$。対称律は成立する。

* 推移律: 任意の $x, y, z \in A$ に対して $(x, y) \in R$ かつ $(y, z) \in R$ ならば $(x, z) \in R$ であること。

$(x, y) \in R$ かつ $(y, z) \in R$ とすると、$x - y$ と $y - z$ は3の倍数である。

つまり、$x - y = 3k_1$、$y - z = 3k_2$ ($k_1, k_2$は整数)。

このとき、$x - z = (x - y) + (y - z) = 3k_1 + 3k_2 = 3(k_1 + k_2)$ であり、$x - z$ も3の倍数である。したがって $(x, z) \in R$。推移律は成立する。

以上より、反射律、対称律、推移律が全て成立するので、$R$ は同値関係である。

(3) $A$ の $R$ に関する同値類を全て求める。

同値類 $[x]$ は、$[x] = \{y \in A | (x, y) \in R\}$ で定義される。

$[0] = \{y \in A | (0, y) \in R\} = \{0, 3, 6\}$

$[1] = \{y \in A | (1, y) \in R\} = \{1, 4\}$

$[2] = \{y \in A | (2, y) \in R\} = \{2, 5\}$

$[3] = \{y \in A | (3, y) \in R\} = \{0, 3, 6\}$

$[4] = \{y \in A | (4, y) \in R\} = \{1, 4\}$

$[5] = \{y \in A | (5, y) \in R\} = \{2, 5\}$

$[6] = \{y \in A | (6, y) \in R\} = \{0, 3, 6\}$

したがって、同値類は $\{0, 3, 6\}, \{1, 4\}, \{2, 5\}$ の3つである。

3. 最終的な答え

(1) $R = \{(0, 0), (0, 3), (0, 6), (1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (4, 1), (4, 4), (5, 2), (5, 5), (6, 0), (6, 3), (6, 6)\}$

(2) $R$ は同値関係である (証明は上記参照)

(3) $A$ の $R$ に関する同値類は $\{0, 3, 6\}, \{1, 4\}, \{2, 5\}$