データサイエンス基礎数理の第2回に関する問題です。内容は、進数変換、集合演算、条件の否定、命題の真偽判定です。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

データサイエンス基礎数理の第2回に関する問題です。内容は、進数変換、集合演算、条件の否定、命題の真偽判定です。

2. 解き方の手順

1. 進数変換

(1) $10101_2$ を10進法で表します。

$10101_2 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21$

(2) $11001010_2$を10進法で表します。

$11001010_2 = 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 202$

2. 10進法から2進法への変換

(1) 13を2進法で表します。

$13 = 8 + 4 + 1 = 2^3 + 2^2 + 2^0$

よって、$13 = 1101_2$

(2) 110を2進法で表します。

$110 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 = 2^6 + 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^1$

よって、$110 = 1101110_2$

3. 集合演算

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(1) $\overline{A}$ を求めます。これは、全体集合UからAの要素を取り除いたものです。

$\overline{A} = \{6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap B$ を求めます。これは、AとBの両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{1, 3, 5\}$

(3) $A \cup B$ を求めます。これは、AまたはBに含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

4. 要素の個数

$n(U) = 100, n(A) = 73, n(B) = 38, n(A \cap B) = 25$

(1) $n(\overline{A})$ を求めます。これは、Aの補集合の要素の個数です。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 73 = 27$

(2) $n(A \cup B)$ を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 73 + 38 - 25 = 86$

(3) $n(\overline{A \cup B})$ を求めます。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - 86 = 14$

5. 条件の否定

(1) $(x=2) \land (y \neq 3)$ の否定は、$\lnot(x=2) \lor \lnot(y \neq 3)$ となります。

これは、$(x \neq 2) \lor (y = 3)$ となります。

(2) $(x \leq 0) \lor (y < 0)$ の否定は、$\lnot(x \leq 0) \land \lnot(y < 0)$ となります。

これは、$(x > 0) \land (y \geq 0)$ となります。

6. 命題の真偽

(1) $x = 1 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$

$x = 1$ のとき、$1^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ なので、命題は真です。

逆命題は、$x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ より、$x = 1, 2$ なので、逆命題は偽です。

(2) $x \geq 2 \Rightarrow x > 2$

$x = 2$ のとき、$x \geq 2$ は真ですが、$x > 2$ は偽なので、命題は偽です。

逆命題は、$x > 2 \Rightarrow x \geq 2$

$x > 2$ ならば必ず $x \geq 2$ なので、逆命題は真です。

(3) x, yはともに偶数 ⇒ x+y, xyはともに偶数（ただし、x、yは整数であるとする。）

$x = 2a, y = 2b$（a,bは整数）とすると、$x + y = 2a + 2b = 2(a+b)$であり、$xy = (2a)(2b) = 4ab = 2(2ab)$なので、$x+y, xy$はともに偶数。よって、命題は真です。

逆命題は、$x + y, xy$はともに偶数 ⇒ x, yはともに偶数

これは偽です。例えば、$x = 1, y = 3$とすると、$x+y = 4, xy = 3$で、$xy$が奇数となり条件に反するケースもあるが、例えば$x = 1$, $y = 3$ のとき $x + y = 4$（偶数）となるが、$x$と$y$はともに偶数ではない。$x = 2, y = 4$の場合、$x+y = 6, xy = 8$となりどちらも偶数となり、元の命題が成り立つので、逆命題は偽である。

3. 最終的な答え

1. (1) 21 (2) 202

2. (1) $1101_2$ (2) $1101110_2$

3. (1) $\{6, 7, 8, 9\}$ (2) $\{1, 3, 5\}$ (3) $\{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

4. (1) 27 (2) 86 (3) 14

5. (1) $(x \neq 2) \lor (y = 3)$ (2) $(x > 0) \land (y \geq 0)$

6. (1) 真, 偽 (2) 偽, 真 (3) 真, 偽