右図のような道のある地域において、次の問いに答える。 (1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右図のような道のある地域において、次の問いに答える。

(1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短の道順

AからBまで行くには、右に5回、上に2回進む必要がある。

したがって、求める道順の数は、7回の移動のうち、右に進む5回を選ぶ組み合わせの数に等しい。

これは、7個の中から5個を選ぶ組み合わせの数なので、 $_7 C_5$ で計算できる。

$_7 C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順

AからCまで行くには、右に2回、上に1回進む必要がある。

AからCまでの最短の道順は、$_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り

CからBまで行くには、右に3回、上に1回進む必要がある。

CからBまでの最短の道順は、$_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り

したがって、AからCを通ってBまで行く最短の道順は、 $3 \times 4 = 12$ 通り

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順

AからBまでの最短の道順から、AからCを通ってBまで行く最短の道順を引けばよい。

AからBまでの最短の道順は21通りであり、AからCを通ってBまで行く最短の道順は12通りであるから、AからCを通らずにBまで行く最短の道順は、 $21 - 12 = 9$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 21通り

(2) 12通り

(3) 9通り