右の図のような道がある地域で、以下の問いに答える問題です。 (1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右の図のような道がある地域で、以下の問いに答える問題です。

(1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短の道順

AからBまで行くには、右に4回、上に2回移動する必要があります。

したがって、全部で6回の移動のうち、右に4回移動する経路の数を考えればよいので、

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順

AからCまでの最短経路は、右に1回、上に1回移動する必要があるので、

${}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$ 通り

CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要があるので、

${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

したがって、AからCを通ってBまで行く最短経路は、

$2 \times 4 = 8$ 通り

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順

AからBまでの最短経路は15通りあり、そのうちAからCを通ってBまで行く経路は8通りなので、AからCを通らずにBまで行く最短経路は、

$15 - 8 = 7$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 8通り

(3) 7通り