10人を以下の条件で組分けする方法が何通りあるか求める問題です。 (1) 3人と7人の2組に分ける。 (2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。 (3) 5人ずつの2組に分ける。 (4) 5人、3人、2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

10人を以下の条件で組分けする方法が何通りあるか求める問題です。

(1) 3人と7人の2組に分ける。

(2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。

(3) 5人ずつの2組に分ける。

(4) 5人、3人、2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 3人と7人の2組に分ける場合

10人から3人を選ぶ組み合わせを考えれば良いので、組み合わせの公式を用います。

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{}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120

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(2) 5人ずつA, Bの2組に分ける場合

10人からA組の5人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの5人がB組になります。

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{}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252

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(3) 5人ずつの2組に分ける場合

(2)と同様に10人から5人を選ぶ組み合わせを考えますが、A, Bの区別がないので、2で割る必要があります。

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\frac{{}_{10}C_5}{2} = \frac{252}{2} = 126

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(4) 5人、3人、2人の3組に分ける場合

まず10人から5人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを考えます。

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{}_{10}C_5 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 252 \times 10 \times 1 = 2520

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3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 252通り

(3) 126通り

(4) 2520通り