全体集合を $U$ とし、条件 $p, q$ を満たすもの全体の集合を、それぞれ $P, Q$ とする。命題 $\overline{p} \implies q$ が真であるとき、$P, Q$ について常に成り立つことをすべて選ぶ。

1. 問題の内容

全体集合を $U$ とし、条件 $p, q$ を満たすもの全体の集合を、それぞれ $P, Q$ とする。命題 $\overline{p} \implies q$ が真であるとき、$P, Q$ について常に成り立つことをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

$\overline{p} \implies q$ が真であるとき、これは $\overline{P} \subset Q$ を意味します。

つまり、$P$ の補集合は $Q$ の部分集合です。

これは $P$ の要素ではないものは必ず $Q$ に含まれるということです。

このとき、$P \cup Q = U$ が成り立ちます。

$P \cup Q = U$ を示すには、任意の $x \in U$ について、$x \in P \cup Q$ であることを示せばよい。

$x \in U$ について、$x \in P$ または $x \notin P$ のいずれかである。

$x \in P$ なら、$x \in P \cup Q$ である。

$x \notin P$ なら、$x \in \overline{P}$ である。

$\overline{P} \subset Q$ より、$x \in Q$ である。

したがって、$x \in P \cup Q$ である。

よって、$P \cup Q = U$ が成り立つ。

$P \subset \overline{Q}$ は $x \in P \implies x \in \overline{Q}$ を意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$\overline{P} \subset Q$ から $P \subset \overline{Q}$ が必ずしも導かれるわけではありません。

$Q \subset P$ は $x \in Q \implies x \in P$ を意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$\overline{Q} \subset P$ は $x \in \overline{Q} \implies x \in P$ を意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$P = Q$ は $x \in P \iff x \in Q$ を意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$P \cup \overline{Q} = P$ は $\overline{Q} \subset P$ を意味します。これは $x \in \overline{Q} \implies x \in P$ を意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$P \cup \overline{Q} = \overline{Q}$ は $P \subset \overline{Q}$ を意味しますが、これは $x \in P \implies x \in \overline{Q}$ を意味します。$\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

$P \cap Q = \emptyset$ は $P$ と $Q$ が共通の要素を持たないことを意味しますが、これは $\overline{p} \implies q$ とは異なる命題です。

3. 最終的な答え

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