この問題は順列に関する4つの小問から構成されています。 (1) 男子4人と女子2人が1列に並ぶとき、女子2人が隣り合う並び方の数を求めます。 (2) 男子2人と女子4人が1列に並ぶとき、両端が女子である並び方の数を求めます。 (3) 5枚の数字カード1, 2, 3, 4, 5を並べて5桁の数を作るとき、偶数が隣り合う数の数を求めます。ただし、同じカードは2度以上使わないとします。 (4) 7枚の数字カード1, 2, 3, 4, 5, 6, 7を並べて7桁の数を作るとき、両端が奇数である数の数を求めます。ただし、同じカードは2度以上使わないとします。

1. 問題の内容

この問題は順列に関する4つの小問から構成されています。

(1) 男子4人と女子2人が1列に並ぶとき、女子2人が隣り合う並び方の数を求めます。

(2) 男子2人と女子4人が1列に並ぶとき、両端が女子である並び方の数を求めます。

(3) 5枚の数字カード1, 2, 3, 4, 5を並べて5桁の数を作るとき、偶数が隣り合う数の数を求めます。ただし、同じカードは2度以上使わないとします。

(4) 7枚の数字カード1, 2, 3, 4, 5, 6, 7を並べて7桁の数を作るとき、両端が奇数である数の数を求めます。ただし、同じカードは2度以上使わないとします。

2. 解き方の手順

(1) 女子2人をひとまとめにして考えます。すると、全体で5人(男子4人と女子のグループ)を並べることになります。5人の並び方は $5!$ 通りあります。さらに、女子2人の並び方は $2!$ 通りあります。したがって、女子2人が隣り合う並び方は、$5! \times 2!$ 通りです。

(2) 両端に女子を並べることから考えます。まず、4人の女子から2人を選んで両端に並べる方法は、$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$ 通りです。残りの4人(男子2人、女子2人)を真ん中の4つの場所に並べる方法は、$4!$ 通りです。したがって、両端が女子である並び方は、$12 \times 4!$ 通りです。

(3) 5枚のカードのうち、偶数は2と4の2枚です。この2枚のカードが隣り合う場合を考えます。

まず、偶数2枚をひとまとめにして考え、これを1つのブロックとします。すると、奇数3枚と偶数のブロック1つの合計4つを並べることになります。この並べ方は $4!$ 通りです。

次に、偶数2枚の並び順は $2!$ 通りです。

したがって、偶数が隣り合う並べ方は $4! \times 2!$ 通りです。

(4) 7枚のカードのうち、奇数は1, 3, 5, 7の4枚です。両端に奇数を並べることから考えます。

まず、4枚の奇数から2枚を選んで両端に並べる方法は、$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

残りの5枚(奇数2枚、偶数3枚)を真ん中の5つの場所に並べる方法は、$5!$ 通りです。

したがって、両端が奇数である数は、$12 \times 5!$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ 通り

(2) $12 \times 4! = 12 \times 24 = 288$ 通り

(3) $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 通り

(4) $12 \times 5! = 12 \times 120 = 1440$ 通り