与えられた問題は、円順列に関する以下の4つの問いに答えるものです。 (1) 5人が輪になるときの並び方の総数を求めます。 (2) 異なる7個の玉を円形に並べる並び方の総数を求めます。 (3) 7人の中から4人を選び、円形に並べる方法の総数を求めます。 (4) 男子4人と女子3人が円形に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方の総数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、円順列に関する以下の4つの問いに答えるものです。

(1) 5人が輪になるときの並び方の総数を求めます。

(2) 異なる7個の玉を円形に並べる並び方の総数を求めます。

(3) 7人の中から4人を選び、円形に並べる方法の総数を求めます。

(4) 男子4人と女子3人が円形に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 5人が輪になる場合、円順列の公式より、並び方は $(5-1)!$ 通りです。

$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(2) 異なる7個の玉を円形に並べる場合、円順列の公式より、並び方は $(7-1)!$ 通りです。

$(7-1)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(3) 7人の中から4人を選んで円形に並べる場合、まず7人から4人を選ぶ組み合わせを求めます。これは $_7C_4$ で表されます。

$_7C_4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、選んだ4人を円形に並べる方法は $(4-1)!$ 通りです。

$(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、求める並び方の総数は $_7C_4 \times (4-1)! = 35 \times 6 = 210$ 通りです。

(4) 男子4人と女子3人が円形に並び、女子3人が続いて並ぶ場合、まず女子3人を1つのグループとして考えます。すると、男子4人と女子のグループ1つで、合計5つの要素を円形に並べることになります。この並び方は $(5-1)!$ 通りです。

$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

次に、女子3人のグループ内での並び方を考えます。これは $3!$ 通りです。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、求める並び方の総数は $4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 24通り

(2) 720通り

(3) 210通り

(4) 144通り