与えられた問題は、組み合わせに関するいくつかの計算問題です。 * 6個の異なる球から4個を選ぶ場合の数 * 7人の男子と5人の女子から、男子3人と女子2人を選ぶ場合の数 * 12人から4人を選ぶとき、少なくとも1人の女子を選ぶ場合の数 * 9人の生徒を3つのグループに分ける場合の数（区別する場合と区別しない場合） * 同じ文字を含む8個の文字を並び替える場合の数

1. 問題の内容

与えられた問題は、組み合わせに関するいくつかの計算問題です。

* 6個の異なる球から4個を選ぶ場合の数

* 7人の男子と5人の女子から、男子3人と女子2人を選ぶ場合の数

* 12人から4人を選ぶとき、少なくとも1人の女子を選ぶ場合の数

* 9人の生徒を3つのグループに分ける場合の数（区別する場合と区別しない場合）

* 同じ文字を含む8個の文字を並び替える場合の数

2. 解き方の手順

(1) 6個の異なる球から4個を選ぶ場合の数：

これは組み合わせの問題なので、${}_6 C_4$を計算します。

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

選ばない球の数は $6 - 4 = 2$ 個です。

${}_6 C_4 = {}_6 C_2$ が成り立ちます。${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2) 男子7人から3人、女子5人から2人を選ぶ場合の数：

男子の選び方は ${}_7 C_3$、女子の選び方は ${}_5 C_2$です。

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、選び方の総数は $35 \times 10 = 350$ 通りです。

(3) 12人から4人を選ぶとき、少なくとも1人の女子を選ぶ場合の数：

全体の選び方から、女子が0人の場合（男子のみ4人）を引きます。

全体の選び方は ${}_{12} C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ 通りです。

男子のみ4人を選ぶ選び方は ${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

したがって、少なくとも1人の女子を選ぶ選び方は $495 - 35 = 460$ 通りです。

(4) 9人の生徒を3つのグループに分ける方法

まずA,B,Cの区別があるとき,各生徒にA,B,Cのいずれかのグループを割り当てるので$3^9=19683$通り

もし各グループの人数が指定されていない場合,単純に分ける場合の数は算出できません。ここでは３人ずつのグループに分ける場合を考える。

９人から３人、残りの６人から３人、残りの３人から３人選ぶので

${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り

A,B,Cの区別がない場合, $1680 / (3!) = 1680/6 = 280$通り

(5) a, a, a, b, b, b, cの8個の文字をすべて使ってできる文字列の数：

同じ文字が複数ある場合の順列なので、

$\frac{8!}{3!3!1!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{40320}{36} = 1120$ 通りです。

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 4

ウ: 15

エ: 2

オ: 350

カ: 460

キ: 19683 (ただしA,B,Cの区別がない場合は280)

ク: 1680 (ただしA,B,Cの区別がない場合は280)

ケ: 1120