問題18: 母音a, i, u, e, oと子音k, s, tの8個を1列に並べるとき、次の問いに答えよ。 (1) 両端が母音である並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。 問題19: 5個の数字1, 2, 3, 4, 5のうちの異なる3個を並べて、3桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。 (1) 5の倍数は何個作れるか。 (2) 偶数は何個作れるか。 (3) 奇数は何個作れるか。

1. 問題の内容

問題18: 母音a, i, u, e, oと子音k, s, tの8個を1列に並べるとき、次の問いに答えよ。

(1) 両端が母音である並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。

問題19: 5個の数字1, 2, 3, 4, 5のうちの異なる3個を並べて、3桁の整数を作るとき、次の問いに答えよ。

(1) 5の倍数は何個作れるか。

(2) 偶数は何個作れるか。

(3) 奇数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

問題18:

(1) 両端が母音である場合

まず、両端に母音を配置する方法を考える。5つの母音から2つを選んで並べるので、$P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$通りある。

次に、残りの6つの文字を並べる。これは$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通りある。

したがって、両端が母音である並べ方は、$20 \times 720 = 14400$通りである。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

まず、母音5個を1つのグループとして考える。このグループと3つの子音の合計4つを並べるので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りある。

次に、母音5個のグループ内で母音を並べる。これは$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通りある。

したがって、母音5個が続いて並ぶ並べ方は、$24 \times 120 = 2880$通りである。

問題19:

(1) 5の倍数の場合

3桁の整数が5の倍数であるためには、一の位が5でなければならない。

一の位が5である場合、残りの2つの位は1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。

これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

したがって、5の倍数は12個作れる。

(2) 偶数の場合

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が2または4でなければならない。

一の位が2の場合、残りの2つの位は1, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

一の位が4の場合、残りの2つの位は1, 2, 3, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

したがって、偶数は$12 + 12 = 24$個作れる。

(3) 奇数の場合

3桁の整数が奇数であるためには、一の位が1, 3, 5のいずれかでなければならない。

一の位が1の場合、残りの2つの位は2, 3, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

一の位が3の場合、残りの2つの位は1, 2, 4, 5の4つの数字から2つを選んで並べる。これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

一の位が5の場合、残りの2つの位は1, 2, 3, 4の4つの数字から2つを選んで並べる。これは$P(4, 2) = 4 \times 3 = 12$通りある。

したがって、奇数は$12 + 12 + 12 = 36$個作れる。

別解:

3桁の整数全体は、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

偶数は24個なので、奇数は$60 - 24 = 36$個。

3. 最終的な答え

問題18:

(1) 14400通り

(2) 2880通り

問題19:

(1) 12個

(2) 24個

(3) 36個