12人を指定された人数でグループ分けする方法の数を求めます。 (1) 5人、4人、3人に分ける (2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける (3) 4人ずつ3組に分ける (4) 6人、3人、3人に分ける (5) 4人、4人、2人、2人に分ける

1. 問題の内容

12人を指定された人数でグループ分けする方法の数を求めます。

(1) 5人、4人、3人に分ける

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける

(3) 4人ずつ3組に分ける

(4) 6人、3人、3人に分ける

(5) 4人、4人、2人、2人に分ける

2. 解き方の手順

(1) 5人、4人、3人に分ける

まず12人から5人を選ぶ方法は $_{12}C_5$ 通りあります。

次に残りの7人から4人を選ぶ方法は $_7C_4$ 通りあります。

最後に残りの3人から3人を選ぶ方法は $_3C_3$ 通りあります。

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_5 \times {}_7C_4 \times {}_3C_3 = \frac{12!}{5!7!} \times \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{12!}{5!4!3!} = 27720$通り

(2) 4人ずつA組、B組、C組の3組に分ける

まず12人からA組の4人を選ぶ方法は $_{12}C_4$ 通りあります。

次に残りの8人からB組の4人を選ぶ方法は $_8C_4$ 通りあります。

最後に残りの4人からC組の4人を選ぶ方法は $_4C_4$ 通りあります。

したがって、求める場合の数は、

$_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{4!4!4!} = 34650$通り

(3) 4人ずつ3組に分ける

(2)でA組、B組、C組の区別がある場合を考えましたが、区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!4!4!} = \frac{12!}{3!(4!)^3} = \frac{34650}{6} = 5775$通り

(4) 6人、3人、3人に分ける

まず12人から6人を選ぶ方法は $_{12}C_6$ 通りあります。

次に残りの6人から3人を選ぶ方法は $_6C_3$ 通りあります。

最後に残りの3人から3人を選ぶ方法は $_3C_3$ 通りあります。

3人の組が2つあり、区別がないので2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{12}C_6 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{1}{2} \times \frac{12!}{6!3!3!} = \frac{924 \times 20 \times 1}{2} = 9240$通り

(5) 4人、4人、2人、2人に分ける

まず12人から4人を選ぶ方法は $_{12}C_4$ 通りあります。

次に残りの8人から4人を選ぶ方法は $_8C_4$ 通りあります。

次に残りの4人から2人を選ぶ方法は $_4C_2$ 通りあります。

最後に残りの2人から2人を選ぶ方法は $_2C_2$ 通りあります。

4人の組が2つ、2人の組が2つあり、それぞれ区別がないので2!で2回割る必要があります。

したがって、求める場合の数は、

$\frac{_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2! \times 2!} = \frac{1}{4} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{1}{4} \times \frac{12!}{4!4!2!2!} = \frac{1}{4} \times (495 \times 70 \times 6 \times 1) = \frac{207900}{4} = 51975$通り

3. 最終的な答え

(1) 27720通り

(2) 34650通り

(3) 5775通り

(4) 9240通り

(5) 51975通り