あるグループにおけるスポーツの好みについて、次のA～Dのことが分かっている。 A: 野球が好きな人は、ゴルフが好きである。 B: ゴルフが好きな人は、バスケットボールが好きである。 C: サッカーが好きな人は、野球が好きである。 D: テニスが好きでない人は、バスケットボールが好きではない。 (1) A～D, およびA～Dの対偶の論理式を書きなさい。 (2) ア～オの各推論のうち、正しいものには正しいことを示す三段論法の矢印図 (論理式)を書きなさい。また、正しくない推論には×印を書きなさい。 ア: 野球が好きな人は、テニスが好きである。 イ: テニスが好きな人は、ゴルフが好きである。 ウ: 野球が好きな人は、サッカーが好きである。 エ: ゴルフが好きでない人は、サッカーが好きではない。 オ: バスケットボールが好きでない人は、テニスが好きではない。

1. 問題の内容

あるグループにおけるスポーツの好みについて、次のA～Dのことが分かっている。

A: 野球が好きな人は、ゴルフが好きである。

B: ゴルフが好きな人は、バスケットボールが好きである。

C: サッカーが好きな人は、野球が好きである。

D: テニスが好きでない人は、バスケットボールが好きではない。

(1) A～D, およびA～Dの対偶の論理式を書きなさい。

(2) ア～オの各推論のうち、正しいものには正しいことを示す三段論法の矢印図 (論理式)を書きなさい。また、正しくない推論には×印を書きなさい。

ア: 野球が好きな人は、テニスが好きである。

イ: テニスが好きな人は、ゴルフが好きである。

ウ: 野球が好きな人は、サッカーが好きである。

エ: ゴルフが好きでない人は、サッカーが好きではない。

オ: バスケットボールが好きでない人は、テニスが好きではない。

2. 解き方の手順

(1) A～D, およびA～Dの対偶の論理式

A: 野 $\rightarrow$ ゴ

対偶: $\overline{ゴ} \rightarrow \overline{野}$

B: ゴ $\rightarrow$ バ

対偶: $\overline{バ} \rightarrow \overline{ゴ}$

C: サ $\rightarrow$ 野

対偶: $\overline{野} \rightarrow \overline{サ}$

D: $\overline{テ} \rightarrow \overline{バ}$

対偶: バ $\rightarrow$ テ

(2) ア～オの各推論

ア: 野球が好きな人は、テニスが好きである。

論理式: 野 $\rightarrow$ テ

A: 野 $\rightarrow$ ゴ

B: ゴ $\rightarrow$ バ

Dの対偶: バ $\rightarrow$ テ

よって、野 $\rightarrow$ ゴ $\rightarrow$ バ $\rightarrow$ テ。

したがって、これは正しい。

イ: テニスが好きな人は、ゴルフが好きである。

論理式: テ $\rightarrow$ ゴ

これは正しいとは限らないため、$\times$

ウ: 野球が好きな人は、サッカーが好きである。

論理式: 野 $\rightarrow$ サ

C: サ $\rightarrow$ 野

A: 野 $\rightarrow$ ゴ

上記より、野 $\rightarrow$ サは必ずしも言えないので、$\times$

エ: ゴルフが好きでない人は、サッカーが好きではない。

論理式: $\overline{ゴ} \rightarrow \overline{サ}$

Aの対偶: $\overline{ゴ} \rightarrow \overline{野}$

Cの対偶: $\overline{野} \rightarrow \overline{サ}$

よって、$\overline{ゴ} \rightarrow \overline{野} \rightarrow \overline{サ}$なので、$\overline{ゴ} \rightarrow \overline{サ}$。

したがって、これは正しい。

オ: バスケットボールが好きでない人は、テニスが好きではない。

論理式: $\overline{バ} \rightarrow \overline{テ}$

Bの対偶: $\overline{バ} \rightarrow \overline{ゴ}$

D: $\overline{テ} \rightarrow \overline{バ}$ なので、その対偶は バ $\rightarrow$ テ

したがって、$\overline{バ} \rightarrow \overline{テ}$は必ずしも言えないので、$\times$

3. 最終的な答え

(1)

A: 野 $\rightarrow$ ゴ, 対偶: $\overline{ゴ} \rightarrow \overline{野}$

B: ゴ $\rightarrow$ バ, 対偶: $\overline{バ} \rightarrow \overline{ゴ}$

C: サ $\rightarrow$ 野, 対偶: $\overline{野} \rightarrow \overline{サ}$

D: $\overline{テ} \rightarrow \overline{バ}$, 対偶: バ $\rightarrow$ テ

(2)

ア: 正しい (野 $\rightarrow$ ゴ $\rightarrow$ バ $\rightarrow$ テ)

イ: $\times$

ウ: $\times$

エ: 正しい ($\overline{ゴ} \rightarrow \overline{野} \rightarrow \overline{サ}$)

オ: $\times$