頂点数が5の極大平面グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

頂点数が5の極大平面グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、極大平面グラフとは何かを理解する必要があります。平面グラフとは、辺が交差せずに平面上に描けるグラフのことです。極大平面グラフとは、それに辺を一つでも加えると平面グラフでなくなるグラフのことです。つまり、どの2頂点間にも辺を追加できない状態です。頂点数 $n$ の極大平面グラフは $3n - 6$ 本の辺を持ちます。

頂点数が5の場合、辺の数は $3 \times 5 - 6 = 9$ となります。

5つの頂点を適当な位置に配置します。

任意の頂点間を結び、辺が交差しないように注意します。

辺の数が9になった時点で、それが求めるグラフです。

具体的な描き方の一例:

まず、5つの頂点のうち3つを選んで三角形を作ります。

次に、残りの2つの頂点を三角形の内側に配置します。

内側の2つの頂点を、三角形の3つの頂点すべてとそれぞれ結びます。これで辺の数は6です。

最後に、内側の2つの頂点同士を結ぶことで辺の数は7となります。

三角形の辺の内外どちらかに、さらに2本の辺を追加することで、頂点数5の極大平面グラフが完成します。

頂点数5の完全グラフ$K_5$は平面グラフではないので、辺の数が9であれば、平面グラフであることが確認できます。

3. 最終的な答え

頂点数が5の極大平面グラフの例：

5つの頂点 $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$ を用意します。

$v_1$と$v_2$, $v_2$と$v_3$, $v_3$と$v_1$を結びます (三角形)。

$v_4$を三角形の内側に配置し、$v_1, v_2, v_3$ それぞれと結びます。

$v_5$を三角形の内側に配置し、$v_1, v_2, v_3$ それぞれと結びます。

$v_4$と$v_5$を結びます。

三角形の外側に$v_4$と$v_1$, $v_5$と$v_3$を結びます。

このグラフは平面グラフであり、辺の数は9本です。どの2頂点間にも辺を追加できないため、極大平面グラフです。

(注: グラフの図をここに描画することはできません。上記の説明に基づいてグラフを描画してください。)