1から49までの自然数全体の集合を全体集合 $U$ とします。 $U$ の要素のうち、50との最大公約数が1より大きいもの全体の集合を $V$ とします。 $U$ の要素のうち、偶数であるもの全体の集合を $W$ とします。 $A$ と $B$ は $U$ の部分集合であり、次の条件を満たします。 (i) $A \cup \overline{B} = V$ (ii) $\overline{A} \cap \overline{B} = W$ このとき、集合 $A$ の要素をすべて求めます。

1. 問題の内容

1から49までの自然数全体の集合を全体集合 $U$ とします。

$U$ の要素のうち、50との最大公約数が1より大きいもの全体の集合を $V$ とします。

$U$ の要素のうち、偶数であるもの全体の集合を $W$ とします。

$A$ と $B$ は $U$ の部分集合であり、次の条件を満たします。

(i) $A \cup \overline{B} = V$

(ii) $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき、集合 $A$ の要素をすべて求めます。

2. 解き方の手順

まず、$U, V, W$ を具体的に求めます。

$U = \{1, 2, 3, ..., 49\}$

50を素因数分解すると $50 = 2 \times 5^2$ なので、$V$ は $U$ の中で 2または5を素因数に持つ要素の集合です。

$V = \{2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50 \}$

$V = \{ n \in U \mid \gcd(n, 50) > 1 \} = \{ n \in U \mid n \text{ が2または5の倍数} \}$

$W = \{ n \in U \mid n \text{ が偶数} \} = \{2, 4, 6, 8, ..., 48\}$

条件(i) $A \cup \overline{B} = V$ より、 $A \cup \overline{B} = V$ です。

条件(ii) $\overline{A} \cap \overline{B} = W$ より、 $\overline{A \cup B} = W$ であるため、$A \cup B = \overline{W}$ となります。

$\overline{W}$ は奇数の集合なので、$\overline{W}=\{1, 3, 5, 7, ..., 49\}$です。

また、$\overline{A} \cap \overline{B} = W$ を変形すると、ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = W$ なので、$A \cup B = \overline{W}$ となります。

$A \cup \overline{B} = V$ より、 $A = V - \overline{B} + (A \cap \overline{B})$

$\overline{A} \cap \overline{B} = W$ より、 $A \cup B = \overline{W}$ です。

ここで、$B = \overline{W} - A + (A \cap B)$ です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = W$ より、$\overline{A} \cap \overline{B}$ は偶数であるため、$A$ も $B$ も奇数を含む必要があります。

$A \cup \overline{B} = V$より、$A$ は $V$ の部分集合ではありません。

$\overline{A} \cap \overline{B} = W$より、$A \cup B = \overline{W}$ です。

$B = \overline{W} - A + (A \cap B)$

条件(ii)より、$A$ に含まれない奇数は全て $B$ に含まれます。

条件(i)より、$A$ に含まれない偶数は全て $\overline{B}$ に含まれます。つまり、$B$ には含まれません。

したがって、$A$ に含まれない要素は、偶数($B$に含まれない)または奇数($B$に含まれる)です。

$A \cup B = \overline{W}$ より、$A$ と $B$ は奇数のみを含む集合で、$A$ に含まれない奇数は $B$ に含まれます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = W$ より、$A$ に含まれる偶数、および、$B$ に含まれる偶数は存在しないため、$A$ に含まれない偶数は $\overline{B}$ に含まれることになります。

しかし、$A \cup \overline{B} = V$ より、$A$ に含まれない偶数は $V$ に含まれる必要があります。

$A \cup \overline{B} = V$ であり、$A \cup B = \overline{W}$ であることを利用します。

$A = (A \cap V) \cup (A \cap \overline{V})$ と分解します。

$\overline{A} \cap \overline{B} = W$ なので、$A \cup B = \overline{W}$ です。つまり、$A$ と $B$ には奇数しか含まれません。

しかし、$A \cup \overline{B} = V$ なので、$A$ に奇数しか含まれない場合、$\overline{B}$ は $V$ から奇数を除いた集合となります。

$A = \{5, 15, 25, 35, 45\}$

3. 最終的な答え

$A = \{5, 15, 25, 35, 45\}$