8人の生徒を以下の3つの場合に分けて、それぞれの分け方の総数を求める問題です。 (1) 4人、3人、1人の3組に分ける (2) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける (3) 4人、2人、2人の3組に分ける

1. 問題の内容

8人の生徒を以下の3つの場合に分けて、それぞれの分け方の総数を求める問題です。

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける

(2) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける

(3) 4人、2人、2人の3組に分ける

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける場合

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_4$通り。

次に、残りの4人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_3$通り。

最後に、残りの1人を選ぶ組み合わせは ${}_1C_1$通り。

したがって、組み合わせの総数は

${}_8C_4 \times {}_4C_3 \times {}_1C_1 = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times 4 \times 1 = 70 \times 4 \times 1 = 280$通り。

(2) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける場合

まず、8人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_2$通り。

次に、残りの6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_2C_2$通り。

2人組が4組なので、同じ人数の組の並び順を考慮して、4!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は

$\frac{{}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{4!} = \frac{\frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{4!} = \frac{\frac{8 \cdot 7}{2} \times \frac{6 \cdot 5}{2} \times \frac{4 \cdot 3}{2} \times 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{28 \times 15 \times 6 \times 1}{24} = \frac{2520}{24} = 105$通り。

(3) 4人、2人、2人の3組に分ける場合

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_8C_4$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_2C_2$通り。

2人組が2組なので、同じ人数の組の並び順を考慮して、2!で割る必要があります。

したがって、組み合わせの総数は

$\frac{{}_8C_4 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \times 1}{2} = \frac{70 \times 6 \times 1}{2} = \frac{420}{2} = 210$通り。

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 105通り

(3) 210通り