問題は全部で7問あります。それぞれの問題は、組み合わせや順列の数え上げに関するものです。 (2) 12人から3人の委員を選ぶ場合の数と、班長、副班長、会計を選ぶ場合の数を求めます。 (3) 15人から3人の委員を選ぶ場合の数と、委員長、副委員長、書記を選ぶ場合の数を求めます。 (4) 12種類のお菓子から10種類を選ぶ場合の数を求めます。 (5) 41人から39人を選ぶ場合の数を求めます。 (6) 10人が総当たり戦を行う場合の試合数を求めます。 (7) 15チームが総当たり戦を行う場合の試合数を求めます。

1. 問題の内容

問題は全部で7問あります。それぞれの問題は、組み合わせや順列の数え上げに関するものです。

(2) 12人から3人の委員を選ぶ場合の数と、班長、副班長、会計を選ぶ場合の数を求めます。

(3) 15人から3人の委員を選ぶ場合の数と、委員長、副委員長、書記を選ぶ場合の数を求めます。

(4) 12種類のお菓子から10種類を選ぶ場合の数を求めます。

(5) 41人から39人を選ぶ場合の数を求めます。

(6) 10人が総当たり戦を行う場合の試合数を求めます。

(7) 15チームが総当たり戦を行う場合の試合数を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

① 3人の委員を選ぶ場合：これは組み合わせの問題なので、12人から3人を選ぶ組み合わせを計算します。

組み合わせの公式は $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ です。

$C(12, 3) = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

② 班長、副班長、会計を選ぶ場合：これは順列の問題です。

まず班長を選び、次に副班長、最後に会計を選びます。

班長の選び方は12通り、副班長の選び方は11通り、会計の選び方は10通りなので、$12 \times 11 \times 10 = 1320$

(3)

① 3人の委員を選ぶ場合：組み合わせの問題です。

$C(15, 3) = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$

② 委員長、副委員長、書記を選ぶ場合：順列の問題です。

委員長の選び方は15通り、副委員長の選び方は14通り、書記の選び方は13通りなので、$15 \times 14 \times 13 = 2730$

(4) 12種類から10種類を選ぶ組み合わせは、$C(12, 10)$ で計算できます。

$C(12, 10) = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

また、選ばない2種類を選ぶと考えて、$C(12,2)$を計算しても同じ結果になります。

(5) 41人から39人を選ぶ組み合わせは、$C(41, 39)$ で計算できます。

$C(41, 39) = \frac{41!}{39!2!} = \frac{41 \times 40}{2 \times 1} = 820$

また、選ばない2人を選ぶと考えて、$C(41,2)$を計算しても同じ結果になります。

(6) 10人が総当たり戦を行う場合、試合数は10人から2人を選ぶ組み合わせで計算できます。

$C(10, 2) = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

(7) 15チームが総当たり戦を行う場合、試合数は15チームから2チームを選ぶ組み合わせで計算できます。

$C(15, 2) = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$

3. 最終的な答え

(2) ① 220通り ② 1320通り

(3) ① 455通り ② 2730通り

(4) 66通り

(5) 820通り

(6) 45試合

(7) 105試合