問題は、右の図のような道があるとき、以下の最短の道順が何通りあるかを求めるものです。 (1) PからQまで行く。 (2) Rを通ってPからQまで行く。 (3) Xを通らずにPからQまで行く。

1. 問題の内容

問題は、右の図のような道があるとき、以下の最短の道順が何通りあるかを求めるものです。

(1) PからQまで行く。

(2) Rを通ってPからQまで行く。

(3) Xを通らずにPからQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合：

PからQまで行くには、右に4回、上に3回移動する必要があります。

したがって、全移動回数は7回です。このうち、右への移動をどこにするかを決めれば経路が決まります。

これは7回中4回右に行く場所を選ぶ組み合わせなので、

${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

(2) Rを通ってPからQまで行く場合：

Rを通る経路は、PからRまで行き、RからQまで行く経路の数を掛け合わせることで求められます。

PからRまでは、右に2回、上に1回移動する必要があります。したがって、

${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

RからQまでは、右に2回、上に2回移動する必要があります。したがって、

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

よって、Rを通ってPからQまで行く経路は、

$3 \times 6 = 18$通り。

(3) Xを通らずにPからQまで行く場合：

Xを通る経路の数を、全体の経路数から引くことで求められます。

Xを通る経路は、PからXまで行き、XからQまで行く経路の数を掛け合わせることで求められます。

PからXまでは、右に3回、上に1回移動する必要があります。したがって、

${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

XからQまでは、右に1回、上に2回移動する必要があります。したがって、

${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$通り。

よって、Xを通ってPからQまで行く経路は、

$4 \times 3 = 12$通り。

したがって、Xを通らずにPからQまで行く経路は、

$35 - 12 = 23$通り。

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 18通り

(3) 23通り