9人の生徒をいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に分け方の総数を求めます。 (1) 9人を2つの組に分ける。ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとする。 (2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける。 (3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける。 (4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける。ただし、特定の2人A, Bが同じ組に入るように分ける。

1. 問題の内容

9人の生徒をいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に分け方の総数を求めます。

(1) 9人を2つの組に分ける。ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとする。

(2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける。

(3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける。

(4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける。ただし、特定の2人A, Bが同じ組に入るように分ける。

2. 解き方の手順

(1) 9人を2つの組に分ける場合

9人を2つの組に分ける方法は、1人-8人、2人-7人、3人-6人、4人-5人の組み合わせがあります。

それぞれの組み合わせに対して、選び方を計算します。

1人-8人の場合: $\binom{9}{1} = 9$

2人-7人の場合: $\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$

3人-6人の場合: $\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

4人-5人の場合: $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

合計すると $9 + 36 + 84 + 126 = 255$となりますが、これは組の区別を考慮した計算です。

2つの組には区別がないので、組み合わせの数に重複があります。したがって、

$\frac{2^9 - 2}{2} = \frac{512-2}{2} = 255$

となります。

(2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける場合

$\binom{9}{2} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = \frac{9 \times 8}{2} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 36 \times 35 \times 1 = 1260$

(3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける場合

$\binom{9}{3} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

ただし、3つの組には区別がないので、3!で割る必要があります。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける場合で、特定の2人A, Bが同じ組に入る場合

まず、AとBを同じ組に入れることを考えます。

(i) A, Bが2人の組に入る場合：残りの7人から3人と4人を選ぶので、$\binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = 35 \times 1 = 35$

(ii) A, Bが3人の組に入る場合：残りの7人から1人を選び、残りの6人から2人と4人を選ぶので、$\binom{7}{1} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{4} = 7 \times 15 \times 1 = 105$

(iii) A, Bが4人の組に入る場合：残りの7人から2人を選び、残りの5人から2人と3人を選ぶので、$\binom{7}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{3} = 21 \times 10 \times 1 = 210$

合計すると $35+105 = 140$の間違いです。正しくは35+105 = 140ではない。

(i)2人の組にA,Bが入る場合：残りの7人から3人と4人を選ぶ$\binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = 35$

(ii)3人の組にA,Bが入る場合：残り1人を7人から選び、残りの6人から2人と4人を選ぶ$\binom{7}{1} \times \binom{6}{2}\binom{4}{4} = 7 \times 15 = 105$

(iii)4人の組にA,Bが入る場合：残り2人を7人から選び、残りの5人から2人と3人を選ぶ$\binom{7}{2} \times \binom{5}{2} \binom{3}{3} = 21 \times 10 = 210$

$35 + 105 + 210 = 350$

3. 最終的な答え

19: ア. 255

20: エ. 1260

21: イ. 280

22: エ. 350