全体集合$U = \{x | x \text{は10以下の正の整数}\}$、 $A = \{x | x \text{は2の倍数}\}$、 $B = \{x | x \text{は3の倍数}\}$、 $C = \{x | x \text{は4の倍数}\}$とする。 以下の集合にあてはまるものを選択肢から選ぶ。 (1) $\overline{A} \cup \overline{C}$ (2) $\overline{B} \cap \overline{C}$ (3) $\overline{B} \cup \overline{C}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (5) $A \cap B \cap C$ (6) $A \cup B \cup C$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | x \text{は10以下の正の整数}\}$、

$A = \{x | x \text{は2の倍数}\}$、

$B = \{x | x \text{は3の倍数}\}$、

$C = \{x | x \text{は4の倍数}\}$とする。

以下の集合にあてはまるものを選択肢から選ぶ。

(1) $\overline{A} \cup \overline{C}$

(2) $\overline{B} \cap \overline{C}$

(3) $\overline{B} \cup \overline{C}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(5) $A \cap B \cap C$

(6) $A \cup B \cup C$

2. 解き方の手順

まず、各集合を具体的に書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

$C = \{4, 8\}$

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$ よって、サ

(2) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} \cap \overline{C} = \{1, 2, 5, 7, 10\}$ よって、オ

(3) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{C} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} \cup \overline{C} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} = U$ よって、シ

(4) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ よって、選択肢にない

しかし、選択肢シは$U$なので、ドモルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$だから$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7\}$.

選択肢にない。

(5) $A \cap B = \{6\}$

$A \cap B \cap C = \{6\} \cap \{4, 8\} = \emptyset$ よって、ア

(6) $A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$

$A \cup B \cup C = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ よって、ケ

(4) を再度確認する。

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ であるから、選択肢に最も近いのはカ.{1,2,5,7,10}。しかし正しくない。

3. 最終的な答え

(1): サ

(2): オ

(3): シ

(4): (選択肢に無し)

(5): ア

(6): ケ