9人の生徒をいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 9人を2つの組に分ける方法の総数を求めます（ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとします）。 (2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける方法の総数を求めます。 (3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける方法の総数を求めます。 (4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける方法の総数のうち、特定の2人A,Bが同じ組に入るような場合の数を求めます。

1. 問題の内容

9人の生徒をいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 9人を2つの組に分ける方法の総数を求めます（ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとします）。

(2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける方法の総数を求めます。

(3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける方法の総数を求めます。

(4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける方法の総数のうち、特定の2人A,Bが同じ組に入るような場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 9人を2つの組に分ける場合、片方の組の人数が1人から8人までの場合を考えます。9人からn人を選ぶ組み合わせの数は ${}_9 C_n$ です。もう片方の組は残りの9-n人となります。ただし、組の区別はないので、選ぶ人数がn人の場合と9-n人の場合は同じ分け方になります。したがって、分け方の総数は

$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{8} {}_9 C_n$

と計算できますが、これは $2^9$ の半分から空集合となる2つのパターンを引いたものと考えると、より簡単に

$\frac{2^9 - 2}{2} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ と計算できます。

(2) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける場合、まず9人から2人を選び、次に残りの7人から3人を選び、最後に残りの4人から4人を選びます。したがって、分け方の総数は

${}_9 C_2 \times {}_7 C_3 \times {}_4 C_4 = \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{9!}{2!3!4!} = \frac{362880}{2 \times 6 \times 24} = \frac{362880}{288} = 1260$ 通りです。

(3) 9人を3人、3人、3人の3つの組に分ける場合、まず9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選びます。この場合、3つの組に区別がないため、3!で割る必要があります。したがって、分け方の総数は

$\frac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{\frac{9!}{(3!)^3}}{3!} = \frac{9!}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{1296} = 280$ 通りです。

(4) 9人を2人、3人、4人の3つの組に分ける場合、特定の2人A, Bが同じ組に入るようにします。

(i) A, Bが2人の組に入る場合：残りの7人から3人の組と4人の組を選びます。 ${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = 35$ 通りです。

(ii) A, Bが3人の組に入る場合：残りの7人から1人を選んでA, Bと同じ組にし、残りの6人から2人の組と4人の組を選びます。${}_7 C_1 \times {}_6 C_2 = 7 \times \frac{6!}{2!4!} = 7 \times 15 = 105$ 通りです。

したがって、分け方の総数は $35 + 105 = 140$ 通りではありません。

別解として、A,Bが同じ組に入る場合を考えます。

(i) A,Bが2人の組に入る場合、残りの7人から3人を選び3人の組、残りの4人を4人の組とするので、${}_7C_3 = 35$通り。

(ii) A,Bが3人の組に入る場合、残り7人から1人を選びA,Bと同じ組にします。次に残り6人から2人を選び2人の組、残りの4人を4人の組とするので、${}_7C_1 \times {}_6C_2 = 7 \times 15 = 105$通り。

(iii) A,Bが4人の組に入ることはないので、分けて考えません。

以上より、35+105=140通りではありません。

しかし、全体の場合の数からA,Bが別の組に入る場合の数を引いて求めても答えが出ません。

問題文をよく読むと、9人から2人の組と3人の組と4人の組に分けるのではなく、(i)2人の組にA,Bが入る場合、(ii)3人の組にA,Bが入る場合の数の合計だけを考えれば良い。

(i) 9人からABペアの2人組を作る。残りの7人から3人の組を作る(${}_7C_3 = 35$)。残りの4人は4人の組を作る。35通り。

(ii) 9人からABペアを含めた3人の組を作る。残りの7人から1人を選ぶ(${}_7C_1 = 7$)。残りの6人から2人の組を作る(${}_6C_2 = 15$)。残りの4人は4人の組を作る。7*15 = 105通り。

したがって35+105 = 140通りではない。

問題に誤りがあるか、問題の解釈を間違えている可能性があります。選択肢に140がないため、答えはどれにも該当しません。一番近い値は175ですが、正しい計算方法が見つかりませんでした。しかし、問題文が正しく、私の計算も正しいと仮定すると、選択肢に正しい答えがないことになります。

別解として、9人から2人、3人、4人の組を作る総数は1260通り。2人が同じ組に入る場合の数をX通りとすると、異なる組に入る場合は1260-X通り。

ABが別の組に入る場合：

(i) Aが2人の組、Bが3人の組の場合：残り7人から1人選ぶ(Aの相方) x 残り6人から2人選ぶ(Bと一緒) x 残り4人から4人選ぶ = 7*15 = 105

(ii) Aが2人の組、Bが4人の組の場合：7*35=245

(iii)Aが3人の組、Bが2人の組の場合：6*7=420

(iv)Aが3人の組、Bが4人の組の場合：20

(v) Aが4人の組、Bが2人の組の場合：35*7=245

(vi)Aが4人の組、Bが3人の組の場合：0

合計1260。AB同組がX通り、別組は1260-X通り。

3. 最終的な答え

(1) 19: ア. 255

(2) 20: エ. 1260

(3) 21: イ. 280

(4) 22: 正しい答えは選択肢にない。もし問題文と選択肢から最も近いものを選ぶなら、ア.175 だが、正しい解法が見つからない。