9人の生徒をいくつかの組に分ける問題です。 (1) 9人を2つの組に分ける場合の数を求めます。ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとします。 (2) 9人を2人、3人、4人の3組に分ける場合の数を求めます。 (3) 9人を3人、3人、3人の3組に分ける場合の数を求めます。 (4) 9人を2人、3人、4人の3組に分けるとき、特定の2人A,Bが同じ組に入るような分け方の総数を求めます。

1. 問題の内容

9人の生徒をいくつかの組に分ける問題です。

(1) 9人を2つの組に分ける場合の数を求めます。ただし、どの組にも少なくとも1人は含まれるものとします。

(2) 9人を2人、3人、4人の3組に分ける場合の数を求めます。

(3) 9人を3人、3人、3人の3組に分ける場合の数を求めます。

(4) 9人を2人、3人、4人の3組に分けるとき、特定の2人A,Bが同じ組に入るような分け方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 9人を2つの組に分ける場合：

9人の中から1人以上を選んで1つの組とし、残りをもう1つの組とする。

9人の中から1人を選ぶ場合、2人を選ぶ場合、…、8人を選ぶ場合を考えればよい。

これは、9人からいくつかの人を選ぶ方法の総数から、0人を選ぶ場合と9人を選ぶ場合を引いたものと同じである。つまり、$2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$ 通り。ただし、組の区別がないので、2で割る必要がある。したがって、$(2^9 - 2)/2 = 510/2 = 255$ 通り。

(2) 9人を2人、3人、4人の3組に分ける場合：

まず、9人から2人を選び出す組み合わせは ${9 \choose 2}$ 通り。

次に、残りの7人から3人を選び出す組み合わせは ${7 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの4人から4人を選び出す組み合わせは ${4 \choose 4}$ 通り。

したがって、分け方の総数は ${9 \choose 2} \times {7 \choose 3} \times {4 \choose 4} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 36 \times 35 \times 1 = 1260$ 通り。

(3) 9人を3人、3人、3人の3組に分ける場合：

まず、9人から3人を選び出す組み合わせは ${9 \choose 3}$ 通り。

次に、残りの6人から3人を選び出す組み合わせは ${6 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの3人から3人を選び出す組み合わせは ${3 \choose 3}$ 通り。

したがって、分け方の総数は ${9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り。

ただし、組の区別がないので、3! = 6で割る必要がある。したがって、$1680 / 6 = 280$ 通り。

(4) 9人を2人、3人、4人の3組に分けるとき、特定の2人A,Bが同じ組に入る場合：

i) A, B が2人の組に入る場合：残りの7人から3人、4人を選ぶ。選び方は ${7 \choose 3} = 35$ 通り。

ii) A, B が3人の組に入る場合：残りの7人から1人を選んで3人の組を作り、残りの6人から2人、4人を選ぶ。選び方は ${7 \choose 1} \times {6 \choose 2} = 7 \times 15 = 105$ 通り。

iii) A, B が4人の組に入る場合：残りの7人から2人を選んで4人の組を作り、残りの5人から2人、3人を選ぶ。選び方は ${7 \choose 2} \times {5 \choose 2}= 21 \times 10 = 210 / 2 = 210$ 通り

しかし、$2+3+4$ で考えた場合、AとBが同じ組に入るのは

(i) 2人の組 $2+3+4 = 9$

A,B が2人の組に入ると仮定すると、残りの7人を3人と4人に分ける。これは、${7 \choose 3} = 35$

(ii) 3人の組

A,B が3人の組に入ると仮定すると、残りの7人から1人を加えた3人グループと、2人、4人グループに分ける。これは ${7 \choose 1}{6 \choose 2} = 7 \times 15 = 105$

(iii) 4人の組

A,B が4人の組に入ると仮定すると、残りの7人から2人を加えた4人グループと、2人、3人グループに分ける。これは ${7 \choose 2}{5 \choose 2} = 21 \times 10 = 210$

合計すると、$35 + 105 + 105= 35+210+210= 35 + 315 = 350$　通り

したがって、分け方の総数は $35 + 105 + 210 = 350$ 通り

3. 最終的な答え

19: エ. 255

20: エ. 1260

21: イ. 280

22: エ. 350