点Aを出発して、点B, C, D, Eをすべて回り、点Aに戻ってくる経路は何通りあるか。ただし、途中で点Aを通らないとする。

1. 問題の内容

点Aを出発して、点B, C, D, Eをすべて回り、点Aに戻ってくる経路は何通りあるか。ただし、途中で点Aを通らないとする。

2. 解き方の手順

まず、点Aから出て、B, C, D, Eの点をすべて通って、Aに戻る経路を考えます。途中で点Aを通ることは許されません。

可能な経路は以下の通りです。

- A -> B -> C -> D -> E -> A

- A -> B -> C -> E -> D -> A

- A -> B -> D -> C -> E -> A

- A -> B -> D -> E -> C -> A

- A -> B -> E -> C -> D -> A

- A -> B -> E -> D -> C -> A

- A -> C -> B -> D -> E -> A

- A -> C -> B -> E -> D -> A

- A -> C -> D -> B -> E -> A

- A -> C -> D -> E -> B -> A

- A -> C -> E -> B -> D -> A

- A -> C -> E -> D -> B -> A

- A -> D -> B -> C -> E -> A

- A -> D -> B -> E -> C -> A

- A -> D -> C -> B -> E -> A

- A -> D -> C -> E -> B -> A

- A -> D -> E -> B -> C -> A

- A -> D -> E -> C -> B -> A

- A -> E -> B -> C -> D -> A

- A -> E -> B -> D -> C -> A

- A -> E -> C -> B -> D -> A

- A -> E -> C -> D -> B -> A

- A -> E -> D -> B -> C -> A

- A -> E -> D -> C -> B -> A

ただし、上の経路は、順序を入れ替えたものも含まれています。

Aから出発して、B, C, D, Eの順序で訪れる方法を考えます。これらの4つの点を並べる順列は4! = 24通りあります。

ただし、点Aを途中で通らないという制約があります。

点Aから出発してB, C, D, Eを回る順序を決定すると、点Aに戻る経路は一意に定まります。

4つの点B, C, D, Eを並べる順列の総数は、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

しかし、反時計回りの順序と時計回りの順序は同じ経路として数えるため、2で割る必要があります。

したがって、経路の数は$24 / 2 = 12$通りとなります。

しかし、与えられた図では、点AからB, C, D, Eへの経路はそれぞれ一意に決まっています。

例えば、A -> B -> C -> D -> E -> A という経路は、AからBへ行き、BからCへ行き、CからDへ行き、DからEへ行き、EからAへ行くという経路です。

この経路の順序を変えることによって、異なる経路を作ることができます。

B, C, D, Eの4点を並べる順列は4! = 24通りですが、反時計回りの経路と時計回りの経路は同じとみなせるため、2で割ると12通りになります。

さらに、図を見ると、

A -> B

A -> C

A -> D

A -> E

のそれぞれの経路は1通りしかありません。

したがって、B, C, D, Eの順列の数を数えるだけで、全体の経路数を求めることができます。

4! = 24通りあり、時計回りと反時計回りの区別をしないので2で割ると、12通り。

経路の順序を考慮すると、4! = 24通り。

しかし、回転方向は考慮しないとすると、(4-1)! = 3! = 6通り。

さらに、反時計回りと時計回りは同じとみなすので、6/2 = 3通り。

しかし、これは正しくない。

Aから出発して、B, C, D, E をすべて回り、Aに戻る。この経路は、B, C, D, Eの順列で決まる。

4! = 24通り。

3. 最終的な答え

12通り