全体集合 $U$ を自然数全体の集合とし、その部分集合 $A, B, C, D, E$ を次のように定める。 $A = \{x | x \text{は2の倍数}\}$ $B = \{x | x \text{は3の倍数}\}$ $C = \{x | x \text{は4の倍数}\}$ $D = \{x | x \text{は6の倍数}\}$ $E = \{x | x \text{は12の倍数}\}$ 集合 $X$ の補集合を $\overline{X}$ と表し、空集合を $\emptyset$ と表す。 (1) 次のア, イに当てはまるものを、下の0〜5のうちから一つずつ選べ。 $A$ ア $\overline{A} = U$, $A$ イ $\overline{A} = \emptyset$ (2) 次のウに当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。 ウ $= \emptyset$ (3) 次の エ に当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。 $A \cap B \cap D$ エ $E$ (4) 次のオに当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。 $x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ であることは、$x \in A \cap D$ であるための オ

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を自然数全体の集合とし、その部分集合 $A, B, C, D, E$ を次のように定める。

$A = \{x | x \text{は2の倍数}\}$

$B = \{x | x \text{は3の倍数}\}$

$C = \{x | x \text{は4の倍数}\}$

$D = \{x | x \text{は6の倍数}\}$

$E = \{x | x \text{は12の倍数}\}$

集合 $X$ の補集合を $\overline{X}$ と表し、空集合を $\emptyset$ と表す。

(1) 次のア, イに当てはまるものを、下の0〜5のうちから一つずつ選べ。

$A$ ア $\overline{A} = U$, $A$ イ $\overline{A} = \emptyset$

(2) 次のウに当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。

ウ $= \emptyset$

(3) 次の エ に当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。

$A \cap B \cap D$ エ $E$

(4) 次のオに当てはまるものを、下の0〜3のうちから一つ選べ。

$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ であることは、$x \in A \cap D$ であるための オ

2. 解き方の手順

(1)

ア：$A$ と $\overline{A}$ を合わせると全体集合になるので、和集合を表す記号 4 ( $\cup$ ) が当てはまる。

$A \cup \overline{A} = U$

イ：$A$ と $\overline{A}$ に共通の要素はないので、共通部分（積集合）は空集合になる。したがって、積集合を表す記号 5 ( $\cap$ ) が当てはまる。

$A \cap \overline{A} = \emptyset$

(2)

$A = \{x | x \text{は2の倍数}\}$

$C = \{x | x \text{は4の倍数}\}$

$\overline{A} = \{x | x \text{は2の倍数ではない}\}$

$\overline{C} = \{x | x \text{は4の倍数ではない}\}$

$A \cup C = A$ (∵ $C \subset A$)

$\overline{A \cup C} = \overline{A}$

$A \cap C = C$ (∵ $C \subset A$)

$\overline{A} \cap C = \{x | x \text{は4の倍数であり、かつ2の倍数ではない}\}$

$A \cup \overline{C} = U$

$A \cap \overline{C} = \{x | x \text{は2の倍数であり、かつ4の倍数ではない}\}$

したがって、空集合になるのは $\overline{A} \cap C$。

(3)

$A \cap B \cap D = \{x | x \text{は2の倍数かつ3の倍数かつ6の倍数}\}$

$x$ が 2, 3, 6 の倍数であるということは、$x$ が 6 の倍数であるということと同値。

$A \cap B \cap D = \{x | x \text{は6の倍数}\} = D$

$E = \{x | x \text{は12の倍数}\}$

$D \supset E$ なので、$A \cap B \cap D \supset E$。

(4)

$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ であることは、$x \in A \cap D$ であるための条件を考える。

$A \cup C = A$ (∵ $C \subset A$)

$\overline{B} \cup \overline{D} = \{x | x \text{は3の倍数ではない、または6の倍数ではない}\}$

$x \in A \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$

$A \cap D = \{x | x \text{は2の倍数かつ6の倍数}\} = \{x | x \text{は6の倍数}\}$ = D

$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ は $x \in A \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ と同じ。

$x \in A \cap D$ を仮定すると、$x$ は6の倍数。よって、$x$ は2の倍数であり、かつ6の倍数。

このとき、$x$ は3の倍数ではない、または6の倍数ではない、ということはない。

したがって、$x \in A \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ は成り立たない。

つまり、$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ は $x \in A \cap D$ であるための必要条件ではない。

$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ を仮定すると、$x \in A$ かつ $x \in \overline{B} \cup \overline{D}$。

$x$ が $A$ に属するので、$x$ は2の倍数。

$x$ が $\overline{B} \cup \overline{D}$ に属するので、$x$ は3の倍数ではない、または6の倍数ではない。

$x$ が3の倍数ではないならば、$x$ は6の倍数ではないので、この時点で$x \in D$ が成り立つことはない。

$x$ が6の倍数ではない場合も、$x \in D$ が成り立つことはない。

したがって、$x \in (A \cup C) \cap (\overline{B} \cup \overline{D})$ は $x \in A \cap D$ であるための十分条件ではない。

ゆえに、必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

(1) ア: 4, イ: 5

(2) ウ: 1

(3) エ: 3

(4) オ: 3