OKAYAMAの7文字を1列に並べる場合の文字列について、以下の4つの問いに答える問題です。 (1) 文字列の総数 (2) O, K, Y, M がこの順に並ぶ文字列の数 (3) AとAが隣り合わない文字列の数 (4) OとKがこの順に並び、かつOとKの間に2文字以上の文字が並ぶ文字列の数

1. 問題の内容

OKAYAMAの7文字を1列に並べる場合の文字列について、以下の4つの問いに答える問題です。

(1) 文字列の総数

(2) O, K, Y, M がこの順に並ぶ文字列の数

(3) AとAが隣り合わない文字列の数

(4) OとKがこの順に並び、かつOとKの間に2文字以上の文字が並ぶ文字列の数

2. 解き方の手順

(1) 文字列の総数

OKAYAMAという文字列には、Oが1つ、Kが1つ、Aが3つ、Yが1つ、Mが1つ含まれています。したがって、7つの文字を並べる総数は、同じ文字がある順列の公式を用いて計算できます。

$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(2) O, K, Y, M がこの順に並ぶ文字列の数

O, K, Y, M を同じ文字（例えば、X）とみなすと、XXAAAXAという7つの文字を並べることになります。この並べ方は $\frac{7!}{3!}$ 通りです。

O, K, Y, M を区別すると、それぞれの並べ方は1通りなので、O, K, Y, M がこの順に並ぶ文字列の総数は、上記の並べ方と同じになります。

XをO, K, Y, M に置き換える順序は1つしかないので、

$\frac{7!}{3!} = 840$

O, K, Y, M の順序を考えない場合、O, K, Y, M の並び方は $4! = 24$ 通りあります。O, K, Y, M の順序が決まっている場合、それらの並び方の数は1です。つまり、O, K, Y, M を区別せず、Xと考えることで、順序が決定された並び方を計算できます。

残りのA, A, A は区別できないので、3! で割る必要があります。

$\frac{7!}{3!4!} \times 1 \times 3! = 35 \times 6 = 210$

O, K, Y, M の並び順は固定されているので、

7つの位置からO, K, Y, M の4つの場所を選び、残りの3つの場所にA, A, A を並べる。

7つの場所から4つの場所を選ぶ方法は $\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

O, K, Y, M の順で配置する。

残りの3箇所にA, A, A を配置する。

その方法は1通り。

したがって、求める文字列の数は 35通り。

(3) AとAが隣り合わない文字列の数

まず、O, K, Y, Mの4文字を並べます。これは4! = 24通りです。

次に、これらの4文字の間の5つのスペース（両端を含む）に、3つのAを配置します。

5つのスペースから3つのスペースを選ぶ組み合わせは、$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、AとAが隣り合わない文字列の数は、 $24 \times 10 = 240$ 通りです。

(4) OとKがこの順に並び、かつOとKの間に2文字以上の文字が並ぶ文字列の数

まず、OとKの位置を決めます。OとKの間に2文字以上入るので、Oの位置は左から1, 2, 3, 4番目のいずれかです。

Oが1番目の場合：Kは4, 5, 6, 7番目

Oが2番目の場合：Kは5, 6, 7番目

Oが3番目の場合：Kは6, 7番目

Oが4番目の場合：Kは7番目

OとKの位置の組み合わせは、4 + 3 + 2 + 1 = 10通りです。

OとKの間の文字を固定したとき、残りの5つの文字を並べる方法は $\frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$通りです。

したがって、文字列の数は $10 \times 20 = 200$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 840

(2) 35

(3) 240

(4) 200