4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a < b < c < d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。以下の条件を満たす $n$ は何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a < b < c < d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、$9 \ge a > b > c > d \ge 0$ を満たす。つまり、0から9までの10個の数字の中から4個の異なる数字を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良い。これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_4$ で計算できる。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a < b < c < d$ の場合

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、$9 \ge d > c > b > a \ge 0$ を満たす必要がある。ただし、$a$ は千の位の数字であるため、$a \neq 0$ であることに注意する必要がある。そのため、$1 \le a$ となる。

つまり、1から9までの9個の数字の中から4個の異なる数字を選び、小さい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良い。

これは組み合わせの問題なので、$9 \ge d>c>b>a \ge 1$ を満たす4つの数字を選ぶことに等しく、$_{9}C_4$ で計算できる。

$_{9}C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

3. 最終的な答え

(1) $a > b > c > d$ を満たす $n$ は 210個

(2) $a < b < c < d$ を満たす $n$ は 126個