問題4は、先生2人と生徒4人が円形のテーブルの周りに座る座り方について、(1)先生2人が隣り合う座り方、(2)先生2人が向かい合う座り方の数を求める問題です。 問題5は、108について、(1)正の約数の個数を求める問題、(2)正の約数の総和を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4は、先生2人と生徒4人が円形のテーブルの周りに座る座り方について、(1)先生2人が隣り合う座り方、(2)先生2人が向かい合う座り方の数を求める問題です。

問題5は、108について、(1)正の約数の個数を求める問題、(2)正の約数の総和を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題4(1)

先生2人をまとめて1人と考えると、全体で5人の円順列となるので、$(5-1)! = 4! = 24$通り。さらに、先生2人の並び方が2通りあるので、合計で$24 \times 2 = 48$通り。

問題4(2)

まず先生の一人を固定する。もう一人の先生は向かい側に座るしかないので座り方は1通り。残りの生徒4人の座り方は、残りの4席に座るので$4! = 24$通り。したがって、座り方は24通り。

問題5(1)

108を素因数分解すると、$108 = 2^2 \times 3^3$となる。約数の個数は、素因数の指数のそれぞれに1を足して掛け合わせたものになるので、$(2+1) \times (3+1) = 3 \times 4 = 12$個。

問題5(2)

約数の総和は、$(1+2+2^2) \times (1+3+3^2+3^3) = (1+2+4) \times (1+3+9+27) = 7 \times 40 = 280$となる。

3. 最終的な答え

問題4(1): 48通り

問題4(2): 24通り

問題5(1): 12個

問題5(2): 280