5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を重複を許して使って自然数を作る。 (1) 4桁の自然数は何個あるか。 (2) 4桁以下の自然数は何個あるか。

1. 問題の内容

5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を重複を許して使って自然数を作る。

(1) 4桁の自然数は何個あるか。

(2) 4桁以下の自然数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の自然数について

4桁の自然数を作る場合、千の位は0以外の数字（1, 2, 3, 4）のどれかを選ぶ必要がある。

したがって、千の位の選び方は4通り。

百の位、十の位、一の位は、それぞれ0, 1, 2, 3, 4の5つの数字のどれでも選べる。

したがって、百の位、十の位、一の位の選び方はそれぞれ5通り。

よって、4桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ 個。

(2) 4桁以下の自然数について

4桁以下の自然数は、1桁、2桁、3桁、4桁の自然数を合わせた数である。

1桁の自然数は、0以外の数字（1, 2, 3, 4）のどれかを選ぶ。

したがって、1桁の自然数は4個。

2桁の自然数を作る場合、十の位は0以外の数字（1, 2, 3, 4）のどれかを選ぶ必要がある。

したがって、十の位の選び方は4通り。

一の位は、0, 1, 2, 3, 4の5つの数字のどれでも選べる。

したがって、一の位の選び方は5通り。

よって、2桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 = 20$ 個。

3桁の自然数を作る場合、百の位は0以外の数字（1, 2, 3, 4）のどれかを選ぶ必要がある。

したがって、百の位の選び方は4通り。

十の位、一の位は、それぞれ0, 1, 2, 3, 4の5つの数字のどれでも選べる。

したがって、十の位、一の位の選び方はそれぞれ5通り。

よって、3桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 \times 5 = 100$ 個。

4桁の自然数は、(1)で求めたように500個。

したがって、4桁以下の自然数の個数は、

$4 + 20 + 100 + 500 = 624$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の自然数: 500個

(2) 4桁以下の自然数: 624個