1個のサイコロを4回投げて、出た目を順に $x_1, x_2, x_3, x_4$ とする。次の2つの場合について、条件を満たす目の出方が何通りあるかを求めます。 (1) $x_1 > x_2 > x_3 > x_4$ (2) $x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge x_4$

1. 問題の内容

1個のサイコロを4回投げて、出た目を順に $x_1, x_2, x_3, x_4$ とする。次の2つの場合について、条件を満たす目の出方が何通りあるかを求めます。

(1) $x_1 > x_2 > x_3 > x_4$

(2) $x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge x_4$

2. 解き方の手順

(1) $x_1 > x_2 > x_3 > x_4$ の場合

$x_1, x_2, x_3, x_4$ は全て異なる数字で、1から6の範囲の数字です。

したがって、1から6までの6個の数字の中から4個の数字を選ぶ組み合わせを考えれば良いことになります。

選んだ4個の数字を大きい順に $x_1, x_2, x_3, x_4$ とすれば、条件を満たします。

よって、組み合わせの数は ${}_6 C_4$ で計算できます。

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

(2) $x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge x_4$ の場合

この場合は、重複を許して1から6の数字を4つ選ぶ組み合わせを考えます。これは重複組み合わせの問題です。

6種類のものから重複を許して4個選ぶ組み合わせの数は、${}_6 H_4$ で表されます。

${}_6 H_4 = {}_{6+4-1} C_4 = {}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

3. 最終的な答え

(1) $x_1 > x_2 > x_3 > x_4$ の場合: 15通り

(2) $x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge x_4$ の場合: 126通り